Sujet : L'évolution de la notion de vérité en mathématiques ?

Définitions des termes :

• vérité : La vérité concerne l'ordre du discours, et il faut en cela la distinguer de la réalité. Elle se définit traditionnellement comme l'adéquation entre le réel et le discours. Qualité d'une proposition en accord avec son objet. La vérité formelle, en logique, en mathématiques c'est l'accord de l'esprit avec ses propres conventions. La vérité expérimentale c'est la non-contradiction de mes jugements, l'accord et l'identification de mes énoncés à propos d'un donné matériel. On distinguera soigneusement la réalité qui concerne un objet (ce cahier, cette lampe sont réels) et la vérité qui est une valeur qui concerne un jugement. Ainsi le jugement : « ce cahier est vert » est un jugement vrai ou bien un jugement faux. La vérité ou la fausseté qualifient donc non l'objet lui-même mais la valeur de mon assertion. La philosophie, parce qu'elle recherche la vérité, pose le problème de ses conditions d'accès et des critères du jugement vrai.

• mathématique : Ensemble des sciences hypothético-déductives ayant pour objet les nombres, les figures géométriques, les structures algébriques et topologiques, les fonctions, le calcul intégral et le calcul des probabilités. Les mathématiques se distinguent des sciences naturelles par le fait que leurs objets sont a priori, cad indépendants de l'expérience sensible.

Extrait du corrigé : Dans la géométrie euclidienne, «les termes propres à la théorie ne sont jamais introduits sans être définis ; les propositions n'y sont jamais avancées sans être démontrées, à l'exception d'un petit nombre d'entre elles qui sont énoncées d'abord à titre de principes : la démonstration ne peut en effet remonter à l'infini et doit bien reposer sur quelques propositions premières, mais on a pris soin de les choisir telles qu'aucun doute ne subsiste à leur égard dans un esprit sain» (R. Blanché, L'Axiomatique, 1970).  Axiomes, postulats, théorèmes On distinguait encore au début du XIXe siècle :- l'axiome, proposition indémontrable et absolument évidente (par ex. : «deux choses égales entre elles sont égales à une même troisième») ;- et le postulat, proposition indémontrable, également, mais, censément, moins «évidente» (par ex. : «toute droite peut être prolongée indéfiniment»).Enfin, on appelait (et on appelle encore) théorèmes les propositions démontrées à l'aide de ces propositions indémontrables.On s'essaya donc, à partir du XVIIe siècle, de démontrer tel ou tel des postulats euclidiens, afin de le faire passer dans le corps des théorèmes et de réduire ainsi le nombre des propositions acceptées sans démonstration.Les géométries non-euclidiennesCe fut, précisément, l'échec des tentatives faites pour démontrer un certain postulat d'Euclide (lequel affirmait que par un point extérieur à une droite, il passe une parallèle à cette droite et une seule) qui aboutit à la constitution des premières géométries non-euclidiennes (Lobatchevski, 1826 ; Riemann, 1853).La somme des angles d'un triangle est-elle égale, inférieure ou supérieure à deux angles droits ? Des trois cas concevables, un géomètre ancien eût répondu que seul le premier était vrai.