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Les mathématiques ne sont-elles qu'une logique ?

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Le corrigé du sujet " Les mathématiques ne sont-elles qu'une logique ?" a obtenu la note de : aucune note

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Problématique

La logique, au sens le plus général, est une science qui prend pour objet l’étude des jugements en tant qu’il s’applique à la distinction du vrai et du faux. Les Mathématiques sont l’ensemble des sciences ayant pour objet les nombres, l’ordre et l’espace. On emploie le pluriel pour en souligner la multiplicité. Pourquoi traite-t-on ces deux sujets dans le même chapitre ? D’abord, elles ont des points communs : ces deux disciplines ont connu un grand développement au même moment que la philosophie en Grèce, à partir du VI° siècle avant J.-C. et ce pour la même raison : il s’agit de l’effort d’explication rationnelle du monde, et la philosophie, la logique et le mathématiques en sont ses trois raisons principales puisqu’elles ont toutes trois trait au logos (= raison et discours, mais aussi calculs). Le second point commun est que ces deux disciplines se préoccupent de la forme du raisonnement plus que du contenu et d’ailleurs, on assimile souvent logique et rationnel. C’est avec Aristote que la logique prend son véritable essor : elle désigne chez lui la science des formes du raisonnement qu’on appelle aussi forme d’une opération de l’entendement : c’est la nature du rapport qui relie entre eux les termes auxquels cette opération s’applique, abstraction faite des ce que sont les termes en eux-mêmes et également de ce à quoi il renvoie dans la réalité. Ce qui pose problème, c’est le rapport de ces deux disciplines à la réalité : à force de s’en abstraire, la représente-t-elle véritablement ? Et pour y répondre il faut savoir sur quoi elles se fondent. 

Plan détaillé

Textes / Ouvrages de référence

Citations

Le réductionnisme consiste à affirmer que le couple formé par la logique et les mathématiques pures peut être réduit à l'unité simple de la logique mathématique, forme moderne, pure et pleinement rationnelle de la logique., DUBARLE (Critique du réductionnisme), -in Encycl. Pl., Logique et Connaissance scientifique, p. 334.

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.2 De toutes les disciplines, ce sont peut-être les mathématiques qui, dans ces cent dernières années, ont le plus évolué dans leurs intérêts, dans leurs objets, dans leurs méthodes d'approche. à partir de 1830 déjà, a commencé une réflexion systématique des mathématiques sur elles-mêmes qui leur a permis à la fois de mieux assumer leur ambition de cohérence, de connaître les limites de cette ambition et de bénéficier d'une puissance sans commune mesure avec le passé. Il y a eu mutation de ce qu'on peut nommer les «mathématiques classiques» en mathématique -une, notre mathématique contemporaine., A. LICHNEROWICZ, -in A. WARUSFEL, Dict. raisonné des mathématiques, p. V.

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L'homme étant essentiellement un être social, ses fonctions de relation, physiologiques et surtout psychologiques, ne peuvent se concevoir que sociologiquement. La plupart de ses croyances, et la manière même dont elles se forment et s'imposent à lui sont inexplicables si on le considère individuellement; même en ce qu'elles ont de plus personnel, elles sont les actes d'un être qui agit dans un milieu., E. GOBLOT, Traité de logique, p. 35.

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(...) elles -(les mathématiques) sont au monde ce qu'il y a de plus arbitraire., A. MAUROIS, Études littéraires, t. I, p. 44 (cf. Conventionnel).

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(...) elles -(les mathématiques) sont au monde ce qu'il y a de plus arbitraire., A. MAUROIS, Études littéraires, t. I, p. 44 (cf. Conventionnel).

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.2 (...) alors que les mathématiciens sont divisés, sur un plan philosophique, par la question de l'«existence» des objets mathématiques, ils sont unanimes à reconnaître l'importance des algorithmes, en raison de leur caractère constructif., F. LE LIONNAIS, -in BOUVIER et GEORGE, Dict. des mathématiques, art. -Algorithme.

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.1 Les mathématiques ne sont (...) plus une description du réel (bien qu'évidemment elles en soient le meilleur révélateur, prêtant la géométrie euclidienne aux architectes et celle de Riemann aux utilisateurs de la relativité -générale). Le système d'Hilbert devient ainsi une construction intellectuelle indépendante, étudiée pour elle-même et non pour les arpenteurs. Hilbert lui-même le soulignait, ses axiomes étant bâtis sur les trois notions, non définies, de point, droite et plan; il fait remarquer que ces dénominations sont parfaitement arbitraires (!) et qu'il aurait pu, tout aussi bien, les appeler verres de bière, chaises et tables : «par deux verres de bière distincts, passe au moins une chaise...» Des signes sur du papier... n'est-ce pas là la bonne définition des mathématiques?, A. WARUSFEL, les Mathématiques modernes, p. 11-14.

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(...) affirmer une logique extra-rationnelle, n'est-ce pas un paradoxe qui doit révolter les logiciens? (...) Évidemment, ces deux formes (...) - logique affective, logique rationnelle - doivent être très différentes. Pour les réunir légitimement sous une dénomination commune, il faut donc qu'elles aient un fond commun : c'est le -raisonnement, c'est-à-dire la matière propre de toute logique. Son mécanisme varie beaucoup -(mais) il conserve sa marque propre (...) c'est d'être une opération médiate, qui a pour terme une conclusion (...), Th. RIBOT, la Logique des sentiments, p. 23.

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Le terme de tautologie, qui s'explique donc, selon l'école -(du positivisme logique), à l'ensemble des vérités logico-mathématiques, peut être pris en deux sens qu'il convient de distinguer (...) En un premier sens on dira qu'il y a tautologie lorsque les liaisons en jeu sont fondées sur l'identité... (par exemple «les animaux sont les animaux»... et «les animaux réunis aux animaux donnent encore les animaux», ceci en opposition avec l'itération 1 + 1 = 2). En un second sens, on dira qu'il y a tautologie lorsqu'un jugement épuise identiquement toutes les possibilités (...) Une affirmation toujours vraie peut, en explicitant l'ensemble des liaisons en jeu, être mise sous la forme d'une tautologie., J. PIAGET, Logique et Connaissance scientifique, Épistémologie, -in Encycl. Pl., p. 88-89.

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