Les mathématiques ne sont-elles qu'une logique ?

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Les mathématiques ne sont-elles qu'une logique ?

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Problématique

La logique, au sens le plus général, est une science qui prend pour objet l’étude des jugements en tant qu’il s’applique à la distinction du vrai et du faux. Les Mathématiques sont l’ensemble des sciences ayant pour objet les nombres, l’ordre et l’espace. On emploie le pluriel pour en souligner la multiplicité. Pourquoi traite-t-on ces deux sujets dans le même chapitre ? D’abord, elles ont des points communs : ces deux disciplines ont connu un grand développement au même moment que la philosophie en Grèce, à partir du VI° siècle avant J.-C. et ce pour la même raison : il s’agit de l’effort d’explication rationnelle du monde, et la philosophie, la logique et le mathématiques en sont ses trois raisons principales puisqu’elles ont toutes trois trait au logos (= raison et discours, mais aussi calculs). Le second point commun est que ces deux disciplines se préoccupent de la forme du raisonnement plus que du contenu et d’ailleurs, on assimile souvent logique et rationnel. C’est avec Aristote que la logique prend son véritable essor : elle désigne chez lui la science des formes du raisonnement qu’on appelle aussi forme d’une opération de l’entendement : c’est la nature du rapport qui relie entre eux les termes auxquels cette opération s’applique, abstraction faite des ce que sont les termes en eux-mêmes et également de ce à quoi il renvoie dans la réalité. Ce qui pose problème, c’est le rapport de ces deux disciplines à la réalité : à force de s’en abstraire, la représente-t-elle véritablement ? Et pour y répondre il faut savoir sur quoi elles se fondent. 

Plan détaillé

Textes / Ouvrages de référence

Citations

Le réductionnisme consiste à affirmer que le couple formé par la logique et les mathématiques pures peut être réduit à l'unité simple de la logique mathématique, forme moderne, pure et pleinement rationnelle de la logique., DUBARLE (Critique du réductionnisme), -in Encycl. Pl., Logique et Connaissance scientifique, p. 334.

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.2 De toutes les disciplines, ce sont peut-être les mathématiques qui, dans ces cent dernières années, ont le plus évolué dans leurs intérêts, dans leurs objets, dans leurs méthodes d'approche. à partir de 1830 déjà, a commencé une réflexion systématique des mathématiques sur elles-mêmes qui leur a permis à la fois de mieux assumer leur ambition de cohérence, de connaître les limites de cette ambition et de bénéficier d'une puissance sans commune mesure avec le passé. Il y a eu mutation de ce qu'on peut nommer les «mathématiques classiques» en mathématique -une, notre mathématique contemporaine., A. LICHNEROWICZ, -in A. WARUSFEL, Dict. raisonné des mathématiques, p. V.

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(...) elles -(les mathématiques) sont au monde ce qu'il y a de plus arbitraire., A. MAUROIS, Études littéraires, t. I, p. 44 (cf. Conventionnel).

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(...) elles -(les mathématiques) sont au monde ce qu'il y a de plus arbitraire., A. MAUROIS, Études littéraires, t. I, p. 44 (cf. Conventionnel).

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Le mensonge devient donc pour elles -(les femmes) le fond de la langue, et la vérité n'est plus qu'une exception; elles la disent comme elles sont vertueuses, par caprice ou par spéculation., BALZAC, Ferragus, Pl., t. V, p. 57.

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.1 Les mathématiques ne sont (...) plus une description du réel (bien qu'évidemment elles en soient le meilleur révélateur, prêtant la géométrie euclidienne aux architectes et celle de Riemann aux utilisateurs de la relativité -générale). Le système d'Hilbert devient ainsi une construction intellectuelle indépendante, étudiée pour elle-même et non pour les arpenteurs. Hilbert lui-même le soulignait, ses axiomes étant bâtis sur les trois notions, non définies, de point, droite et plan; il fait remarquer que ces dénominations sont parfaitement arbitraires (!) et qu'il aurait pu, tout aussi bien, les appeler verres de bière, chaises et tables : «par deux verres de bière distincts, passe au moins une chaise...» Des signes sur du papier... n'est-ce pas là la bonne définition des mathématiques?, A. WARUSFEL, les Mathématiques modernes, p. 11-14.

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.2 (...) alors que les mathématiciens sont divisés, sur un plan philosophique, par la question de l'«existence» des objets mathématiques, ils sont unanimes à reconnaître l'importance des algorithmes, en raison de leur caractère constructif., F. LE LIONNAIS, -in BOUVIER et GEORGE, Dict. des mathématiques, art. -Algorithme.

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J'ai déjà eu l'occasion d'insister sur la place que doit garder l'intuition dans l'enseignement des sciences mathématiques. Sans elle, les jeunes esprits ne sauraient s'initier à l'intelligence des mathématiques; ils n'apprendraient pas à les aimer et n'y verraient qu'une vaine logomachie (...), Henri POINCARÉ, Valeur de la science, I, I, IV.

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L'homme étant essentiellement un être social, ses fonctions de relation, physiologiques et surtout psychologiques, ne peuvent se concevoir que sociologiquement. La plupart de ses croyances, et la manière même dont elles se forment et s'imposent à lui sont inexplicables si on le considère individuellement; même en ce qu'elles ont de plus personnel, elles sont les actes d'un être qui agit dans un milieu., E. GOBLOT, Traité de logique, p. 35.

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