Sujet : Qu'est-ce qu'un postulat en mathématique ?

Définitions des termes :

• postulat : Du latin postulare, demander. Proposition indémontrable que le scientifique demande qu'on lui accorde pour fonder sa construction théorique.

• mathématique : Ensemble des sciences hypothético-déductives ayant pour objet les nombres, les figures géométriques, les structures algébriques et topologiques, les fonctions, le calcul intégral et le calcul des probabilités. Les mathématiques se distinguent des sciences naturelles par le fait que leurs objets sont a priori, cad indépendants de l'expérience sensible.

Extrait du corrigé : On peut donc aboutir à des propositions géométriques non contradictoires en partant d'un postulat différent du postulat d'Euclide sur les parallèles. Le postulat euclidien perd son caractère de «nécessité». D'autres sont concevables et mathématiquement féconds (ce qui réfute l'opinion kantienne qui voyait dans la structure de l'espace euclidien une forme a priori universelle et nécessaire de l'esprit humain). La géométrie euclidienne qu'on avait prise jusqu'au XIXe siècle pour un absolu apparaît comme un cas très particulier de géométrie, la géométrie d'un espace à courbure nulle. Le progrès des mathématiques ne consiste pas ici à nier les «vérités» mathématiques d'hier, mais à les situer comme un simple cas possible dans un ensemble plus vaste. La généralisation a consisté, ici encore, à transformer une constante (courbure nulle d'Euclide) en variable. Qu'en résulte-t-il quant à la nature des postulats ? Les postulats apparaissent désormais comme des «définitions déguisées» (Poincaré). Les postulats d'Euclide définissent un certain type d'espace géométrique, un certain type d'opérations géométriques possibles. C'est sans doute le caractère opératoire des postulats que Poincaré voulait signifier quand il disait que le mathématicien « fait de la géométrie avec l'espace comme il en fait avec de la craie ».