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Pourquoi les mathématiques sont-elles dites hypothético-déductives ?

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Pourquoi les mathématiques sont-elles dites hypothético-déductives ?

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Problématique

En mathématique, la vérité d'une proposition est hypothétique puisqu'elle est dépendante de la libre position de postulats. En cela on peut dire que la vérité mathématique est relative car elle dépend de la cohérence interne d'une proposition avec le système global des postulats. Aussi plusieurs systèmes incompatibles entre eux peuvent coexister comme le montrent les géométries non euclidiennes.

Plan détaillé

Textes / Ouvrages de référence

Citations

On appelle (...) -sciences exactes, les sciences mathématiques, qui étant purement abstraites et déductives, ne dépendent pas du degré de perfection de nos sens ni de nos instruments., GOBLOT, -in LALANDE, Voc. de la philosophie, art. -Exact.

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Quant aux «essences» -(chez Husserl), elles (...) ne se réduisent pas à des hypothèses ou fictions (comme le sont les axiomes en une science hypothético-déductive)., J. PIAGET, Logique et Connaissance scientifique, -in Encycl. Pl., p. 34.

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.2 De toutes les disciplines, ce sont peut-être les mathématiques qui, dans ces cent dernières années, ont le plus évolué dans leurs intérêts, dans leurs objets, dans leurs méthodes d'approche. à partir de 1830 déjà, a commencé une réflexion systématique des mathématiques sur elles-mêmes qui leur a permis à la fois de mieux assumer leur ambition de cohérence, de connaître les limites de cette ambition et de bénéficier d'une puissance sans commune mesure avec le passé. Il y a eu mutation de ce qu'on peut nommer les «mathématiques classiques» en mathématique -une, notre mathématique contemporaine., A. LICHNEROWICZ, -in A. WARUSFEL, Dict. raisonné des mathématiques, p. V.

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(...) elles -(les mathématiques) sont au monde ce qu'il y a de plus arbitraire., A. MAUROIS, Études littéraires, t. I, p. 44 (cf. Conventionnel).

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(...) elles -(les mathématiques) sont au monde ce qu'il y a de plus arbitraire., A. MAUROIS, Études littéraires, t. I, p. 44 (cf. Conventionnel).

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.1 Les mathématiques ne sont (...) plus une description du réel (bien qu'évidemment elles en soient le meilleur révélateur, prêtant la géométrie euclidienne aux architectes et celle de Riemann aux utilisateurs de la relativité -générale). Le système d'Hilbert devient ainsi une construction intellectuelle indépendante, étudiée pour elle-même et non pour les arpenteurs. Hilbert lui-même le soulignait, ses axiomes étant bâtis sur les trois notions, non définies, de point, droite et plan; il fait remarquer que ces dénominations sont parfaitement arbitraires (!) et qu'il aurait pu, tout aussi bien, les appeler verres de bière, chaises et tables : «par deux verres de bière distincts, passe au moins une chaise...» Des signes sur du papier... n'est-ce pas là la bonne définition des mathématiques?, A. WARUSFEL, les Mathématiques modernes, p. 11-14.

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.2 (...) alors que les mathématiciens sont divisés, sur un plan philosophique, par la question de l'«existence» des objets mathématiques, ils sont unanimes à reconnaître l'importance des algorithmes, en raison de leur caractère constructif., F. LE LIONNAIS, -in BOUVIER et GEORGE, Dict. des mathématiques, art. -Algorithme.

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Aussi peut-on dès maintenant définir les conditions préalables à un -new deal algérien : elles sont sociales, elles sont économiques et elles sont politiques., Pierre NORA, les Français d'Algérie, p. 245.

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Il n'y a pas de -mathématiques modernes. Ces deux mots anodins font pourtant régner la terreur dans des millions de foyers où les parents, angoissés, «sèchent» sur des problèmes donnés à leurs fils en quatrième. Ces deux mots (...) ont découragé des milliers d'élèves (qui ont parfois même abandonné l'idée d'une carrière scientifique) ainsi, bien souvent, que leurs professeurs, désolés de voir qu'il leur restait à apprendre à leur tour. Pourtant cette appellation internationale est absurde. (...) ces mathématiques-là ne sont ni modernes, ni «nouvelles»; ce sont simplement (...) des mathématiques (...) Bannissons donc de notre esprit, sinon tout à fait de notre vocabulaire, les mots «modernes», «nouvelles», «contemporaines» ou «d'aujourd'hui», dont l'usage malencontreux a contribué à élargir un fossé qu'il faut bien combler. (...) dans cinquante ans tous auront sucé le lait des mathématiques modernes dès la mamelle., A. WARUSFEL, les Mathématiques modernes, p. 6-7.

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