Sujet : Les sciences mathématiques ne sont-elles, comme on l'a prétendu, Qu'un ensemble de conventions commodes qui réussissent ?

Aperçu du corrigé : Les sciences mathématiques ne sont-elles, comme on l'a prétendu, Qu'un ensemble de conventions commodes qui réussissent ?

Ce qui prouve qu'ils n'ont rien d'absolu, de nécessaire, c'est qu'on a pu en concevoir d'autres tout différents et même contraires, au point de construire sur leur négation d'autres géométries que celles d'Euclide. Ces géométries existent, prétendent ces mathématiciens philosophes. Ce sont celles de Lobatchevski et de Riemann. ? La première conteste le troisième postulat d'Eue! ide, à savoir que « par un point on ne peut mener qu'une seule parallèle à une droite », et celle de Riemann, au surplus, que « par deux points on ne puisse faire passer qu'une droite. » Et ces géométries -ont cohérentes ; elles ne présentent point de contradiction et satisfont à la »lus rigoureuse logique. Bien plus, elles ne sont pas moins vraies que la géométrie euclidienne, affirme H. Poincaré. Cette épithète même appliquée à la géométrie n'a, pour lui, aucun sens. « Une géométrie, écrit-il, ne peut être plus vraie qu'une autre ; elle peut être seulement plus commode. » Et ces géomètres vont encore plus loin : ils prétendent que l'espace euclidien à trois dimensions, continu, infini, homogène et isotrope, n'est lui-même qu'une création de l'esprit et qu'on peut imaginer encore des espaces différents de celui-là.