SYSTEMES DYNAMIQUES ( THEORIE QUALITATIVE DES )

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SYSTEMES DYNAMIQUES ( THEORIE QUALITATIVE DES )
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Inaugurée par Poincaré la théorie qualitative des systèmes dynamiques est l'étude des caractéristiques globales des trajectoires dans l'espace des états (espace de phase). Il s'agit non pas tant de la détermination précise des trajectoires mais de leur classification selon des caractéristiques morphologiques. On s'intéresse d'ailleurs souvent au comportement d'ensemble de trajectoires voisines (flot de phase), pour lesquelles dans le cas d'un système sans dissipation(système hamiltonien) on peut démontrer le théorème de Liouville : le flot de phase conserve le volume. Comme ce flot de phase évoque un liquide qui coulerait selon les trajectoires, ceci signifie que l'espace de phase en tant que liquide s'écoule au cours du mouvement en se déformant mais sans se comprimer ni se dilater nulle part. Le problème mathématique général est dans la description du type possible de trajectoires. Le principe le plus simple d'une telle description consiste à classer les trajectoires en trajectoires périodiques ou fermées et en trajectoires non périodiques. Les trajectoires périodiques sont considérées comme les mouvements les plus « réguliers », tels les mouvements des planètes autour du soleil ou le balancement du pendule. Si une trajectoire est non périodique, elle peut être quasi-périodique, c.a.d. que bien que la trajectoire ne soit pas fermée, au bout d'un certain temps( la quasi-période) elle se rapproche d'une partie déjà parcourue de la trajectoire ; On peut aussi s'intéresser au degré d'occupation de l'espace de phase par les trajectoires. On dit qu'une trajectoire est partout dense si elle ne laisse aucun espace vide, c .a. qu'il n'existe aucun domaine si petit soit il qu'elle ne traverse jamais (sauf si le domaine est de mesure nulle réduit à un point). Une trajectoire périodique ne peut être partout dense. Il existe des propriétés plus fortes que d'être partout dense, comme l'équidistr...


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