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Logique et mathématique

Pour approfondir:

 
  1. Panorama de la notion.
  2. Synthèse de la notion.
  3. Plan de la notion.
  4. Textes de la notion.
  5. Problématiques.
  6. Un autre cours.
  7. Les limites des mathématiques
Logique Élude des conditions formelles de la vérité des énoncés. Elle ne s’occupe que de la cohérence du raisonnement et de son accord avec les lois de la pensée (principes de non-contradiction, tiers exclu, etc.).

Syllogisme: enchaînement de trois propositions qui permet grâce à un moyen terme, de tirer une conclusion de deux prémisses. Exemple (emprunté à L. Carroll) : Tous les chats comprennent le français Or quelques poulets sont des chats Donc quelques poulets comprennent le français.

Mathématiques L’ensemble des opérations logiques que l’homme applique aux concepts de nombre, de forme et d’ensemble.
Opposition entre formalisme et intuitionnisme Le formalisme en mathématiques cherche à tout démontrer et met l'accent sur la cohérence formelle du système axiomatique fermé que constitue chaque théorie mathématique.

L'intuitionnisme soutient au contraire que les mathématiques supposent toujours une intuition concrète qu'aucun formalisme ne peut réduire.

Problème des rapports entre mathématiques et réalité L’objet des mathématiques n’est ni du ciel ni de la terre. Cf. infra. dissertation.

 

 

  • La logique et la mathématique représentent toutes deux des sciences formelles, n'ayant pas de rapport véritable à un objet empirique particulier. C'est dans cette perspective qu'il faut essentiellement les étudier ici (encore que la logique soit plus formelle que la mathématique, où subsiste de l'intuition).
• La mathématique, définie classiquement comme le nom générique des sciences qui ont pour objet l'ordre et la mesure, apparaît généralement comme une discipline exemplaire et un modèle de rigueur. Comment comprendre cette exemplarité? Plusieurs types d'explications sont possibles, en particulier :
a - la réponse cartésienne par l'intuition et les «natures simples» (§3et4);
b - la voie de la formalisation : la rigueur mathématique doit alors être comprise à partir de pures règles formelles de cohérence interne (§ 5 et 6).
• Un des problèmes essentiels soulevés dans cette fiche est celui des rapports de la logique formelle et de la mathématique. Est-il possible de réduire cette dernière à la théorie logique? Sur cette question, lisez les paragraphes 2, 6 et 7.
• N'oubliez pas que la mathématique est le langage de toutes les sciences et l'outil essentiel de leur prodigieux succès (§ 8).


I — La logique formelle classique

La logique, au sens très général du terme, peut se définir comme la science ayant pour objet de déterminer les règles du raisonnement correct, la discipline qui s'intéresse aux instruments de la pensée vraie. Elle est, selon l'expression devenue classique de la Logique de Port-Royal (fin du XVIIe siècle), l'art de bien conduire sa raison dans la connaissance des choses. Mais la fondation de la logique est fort antérieure à cette époque : c'est Aristote (385-322 av. J.-C.) qui a créé la logique formelle, discipline qui étudie la forme du raisonnement indépendamment de son contenu proprement dit. Ainsi Aristote a-t-il analysé le syllogisme, suite de trois propositions associant trois termes différents deux à deux. Le syllogisme établit la nécessité d'une conclusion à partir de propositions déjà connues, les prémisses. Ainsi, selon l'exemple célèbre :
Tous les hommes sont mortels (1re prémisse).
Or Socrate appartient à la classe des hommes (2e prémisse). Donc Socrate est mortel (conclusion).

II — La logique symbolique

Par opposition à la logique classique, de tradition aristotélicienne, lentement discréditée à partir de la Renaissance en raison de l'essor de la théorie mathématique, la logique moderne, née au XIXe siècle est une logique symbolique — une «logistique» — utilisant, comme les mathématiques, des symboles et non point des mots, tentant de transformer les opérations logiques en autant de calculs. L'algèbre de Boole, qui est à l'origine de langages informatiques, est un des exemples les plus célèbres de cette conception
Cette logique symbolique, qui apporte une réponse à certains problèmes mathématiques, est devenue progressivement un outil nécessaire aux mathématiciens.
La mathématique est-elle réductible à un système logique formel sans contenu propre? Pour répondre à cette question, il faut examiner la nature de la mathématique et son évolution.

III — La mathématique, science de l'ordre et de la mesure (
UN MODELE D'INTELLIGIBILITE)

La mathématique peut se définir, dans la tradition cartésienne, comme la science de l'ordre et de la mesure : de l'ordre, car elle a pour objet l'ordre des quantités, les séries irréversibles et orientées comme la suite des nombres ou celle des points sur une droite; de la mesure, car la quantité est, en mathématique, susceptible d'être mesurée, c'est-à-dire rapportée à une quantité de même nature choisie comme unité.
«Seules, toutes les choses où l'on étudie l'ordre et la mesure se rattachent à la mathématique, sans qu'il importe que cette mesure soit cherchée dans des nombres, des figures, des astres, des sons, ou quelque autre objet; on remarque ainsi qu'il doit y avoir quelque science générale expliquant tout ce qu'on peut chercher touchant l'ordre et la mesure, sans application à une matière particulière.» (Descartes, Règles pour la direction de l'esprit).
Notez bien que Descartes souligne ici non seulement la nature de l'objet mathématique (ordre et mesure), mais aussi la généralité et l'abstraction de cette discipline, qui ne se réfère à aucun objet particulier.
Ainsi, la mathématique, science abstraite et générale, apparaît-elle comme un modèle de rigueur et d'intelligibilité.

IV — La déduction mathématique selon Descartes

Selon Descartes, le privilège de la rationalité mathématique vient, en profondeur de la nature même de l'évidence qui sous-tend tout l'appareil déductif. La certitude des mathématiques tient, en effet, au modèle même du raisonnement déductif, suite de propositions nécessaires se ramenant à une série d'évidences claires et distinctes : l'esprit perçoit, à chaque étape de son raisonnement, des « natures simples», objets d'intuition intellectuelle. La déduction n'est ainsi qu'une longue suite d'intuitions rationnelles.
C'est cette saisie d'objets simples qui donne la clef de l'exemplarité mathématique.

«Par là, on voit clairement pourquoi l'arithmétique et la géométrie sont beaucoup plus certaines que les autres sciences : c'est que, seules, elles traitent d'un objet assez pur et simple pour n'admettre absolument rien que l'expérience ait rendu incertain, et qu'elles consistent tout entières en une suite de conséquences déduites par raisonnements. Elles sont donc les plus faciles et les plus claires de toutes.» (Descartes, op. cit.)
Ajoutons que, dans la perspective de Descartes, la mathématique et la logique sont hétérogènes. La première est liée à une intuition intellectuelle féconde. La seconde représente un formalisme stérile.


V — Évolution de la pensée mathématique : de la démonstration des propositions isolées au système structuré et formalisé

La pensée mathématique ne va cesser, à partir de Descartes, d'évoluer, par abstraction croissante, en s'écartant des intuitions originelles, encore proche des réalités physiques.
L'apparition, au XIXe siècle, des géométries non-euclidiennes (Lobatchevski et Riemann) qui constituent des systèmes hypothético-déductifs construits sur des hypothèses niant le célèbre postulat d'Euclide sur les parallèles, si proche de l'intuition sensible, constitue une étape marquante de cette évolution.

Prolongement: La géométrie d'Euclide

Celle-ci sera couronnée, vers la fin du XIXe siècle, par l'axiomatique, construction d'une théorie mathématique totalement formalisée, élaborée à partir d'un ensemble cohérent d'axiomes indépendants et non contradictoires, dépourvus de tout aspect concret et intuitif : dans l'axiomatique, les relations entre les êtres mathématiques importent davantage que leur vérité matérielle. Citons, par exemple, l'axiomatique du mathématicien allemand Hilbert (1899).

Ainsi, les mathématiques se sont progressivement formalisées, elles se sont peu à peu dégagées des significations concrètes et intuitives. L'axiomatique a donc introduit dans la mathématique un niveau d'abstraction tout à fait remarquable.

«A la réflexion, les avantages de la méthode axiomatique sont manifestes. Elle est d'abord un précieux instrument d'abstraction et d'analyse. Le passage d'une théorie concrète à la même théorie axiomatisée puis formalisée, renouvelle, en le prolongeant, le travail d'abstraction qui conduit, par exemple, du nombre concret, tas de pommes et de cailloux, au nombre arithmétique, puis de l'arithmétique à l'algèbre... enfin de l'algèbre classique à l'algèbre moderne. » (R. Blanché, L'axiomatique, PUF, 1955)
La mathématique apparaît, dès lors, sûre et rigoureuse dans la mesure où elle est hautement formalisée.

VI — Logique et mathématique : le logicisme

Parvenues à ce degré d'abstraction, les mathématiques semblent se réduire, au jugement de certains, à un système logique purement formel. C'est ce que pensent les logiciens formalistes avec, par exemple, Russell. Les mathématiques se ramèneraient alors à une logique symbolique. à un système formel sans contenu propre. Dès lors, il serait possible de passer de façon continue de la logique à la mathématique. Cette réduction est-elle possible? On sait aujourd'hui que non : il a été démontré par Gödel qu'il était impossible de démontrer la non-contradiction d'un système mathématique.

VII — Limites de la méthode axiomatique en mathématique

Une formalisation chassant toute intuition représente une impossibilité radicale : les significations intuitives ne peuvent jamais être totalement éliminées du champ de conscience du mathématicien.
La mathématique, pensée effective, renvoie donc à une intuition concrète et ne peut en aucun cas être réduite à un pur formalisme logique, comme le voudraient certains logisticiens.
« Ce n'est que dans les livres qu'une axiomatique commence avec les axiomes : dans l'esprit de l'axiomaticien, elle y aboutit. Elle présuppose la déduction matérielle qu'elle met en forme.» (R. Blanché, op. cit.)
« La mathématique est plus que la logique, en tant qu'elle est pensée effective, et que toute pensée effective suppose application de la pensée abstraite à une intuition.» (J. Cavaillès, Méthode axiomatique et formalisme, Hermann, 1981)
Le problème reste cependant posé de savoir quel est le statut de cette «intuition» qui accompagne la pensée mathématique : est-elle le noyau supposé concret sur lequel s'appuie le mathématicien, ou est-elle seulement une sorte d'aide psychologique? Il y a en effet, dans l'invention mathématique, une dimension poétique qui s'exprime par la création d'univers mathématiques où le physicien vient seulement choisir quelques modèles qui lui seront utiles.

VIII — La mathématisation des sciences

La représentation des choses et des phénomènes physiques par un discours mathématique abstrait, structuré et formalisé a fait de la mathématique l'outil puissant et privilégié du prodigieux essor des sciences de la nature. La mathématique est devenue ainsi le langage de toutes les sciences. Car non seulement elle a permis d'introduire mesure et rigueur dans l'explication de phénomènes physiques, mais elle a surtout donné aux savants le moyen de prédire et créer de nouvelles lois.
Nous rejoignons par là la théorie platonicienne des Idées selon laquelle la réalité concrète n'est que le reflet d'une réalité véritable parfaitement transcendante.

Conclusion

— La notion de vérité mathématique a beaucoup évolué. Elle s'est déplacée pour l'essentiel du contenu vers la forme.
— L'intuition (sensible ou intellectuelle) ne peut néanmoins être
totalement répudiée du champ mathématique. La mathématique n'est donc pas réductible à la logique.
— Quelle que soit l'approche envisagée (intuition intellectuelle de Descartes ou formalisation axiomatique), la mathématique constitue toujours un modèle de rigueur et une science exemplaire.

SUJETS DE BACCALAURÉAT

— Quels rôles jouent l'intuition et le raisonnement formel en mathématique?
— La mathématique est-elle réductible à la logique?
— Peut-,on affirmer avec un philosophe «Il n'y a de science proprement dite qu'autant qu'il s'y trouve de mathématique»
— Les mathématiques sont-elles un instrument, un langage ou un modèle pour les autres sciences?
— Aristote disait des mathématiques que leur noblesse est de ne servir à rien ! Qu'en pensez-vous?
— Les progrès de la connaissance scientifique sont-ils toujours dus à la pensée logique?
— Faut-il tout démontrer?
— Les mathématiques sont-elles seulement un jeu de l'esprit?
— La logique nous apprend-elle quelque chose?
— À quelles conditions peut-on donner un sens rigoureux à l'expression courante : c'est logique ?

«Toute notre connaissance commence avec l'expérience, disait Kant, mais il n'en résulte pas qu'elle dérive toute de l'expérience». Il semble, en effet, qu'il y ait des vérités indépendantes de toute expérience particulière, notamment en logique et en mathématiques.

I. DE LA LOGIQUE AUX MATHÉMATIQUES

- A - Définitions. La logique est d'abord la science du discours cohérent, c'est-à-dire qu'elle considère moins le contenu des propositions que les conditions de leur enchaînement (cf. l'expression «être logique avec soi-même»). C'est ainsi que la logique d'Aristote est l'étude des règles générales de l'accord de la pensée avec elle-même. Comme cette étude n'était susceptible d'engendrer aucun progrès dans les sciences, on vit apparaître, avec Bacon et Descartes, une logique de l'ordre ou méthodologie, qui est réflexion sur le moyen de la connaissance. De son côté, la logique transcendantale de Kant s'efforce de déterminer les conditions a priori de toute connaissance. Avec la logique moderne on revient au point de vue formel qui est spécifique de la logique proprement dite.

- B - La logique formelle. Ramenant toute proposition à un sujet et à un prédicat unis par une copule (les hommes sont mortels), et distinguant des propositions affirmatives universelles (A) ou particulières (I) et des propositions négatives universelles (E) ou particulières (0), la logique formelle, inspirée d'Aristote, détermine les conditions dans lesquelles on peut conclure valablement d'une proposition à une autre. Par exemple, de la vérité de A (tous les hommes sont mortels), on peut conclure à la vérité de I (quelque homme est mortel), mais non de la vérité de I à la vérité de A. De même, si A est vrai, E et 0 sont faux; si A est faux, 0 est vrai, I et E peuvent être vrais ou faux, etc.. La syllogistique étudie plus précisément les conditions de validité des raisonnements déductifs. Par exemple de deux prémisses en A, on ne peut tirer qu'une conclusion en A ; de deux prémisses en A et I, on tire une conclusion en I, etc.. D'où les formules: BARBARA, CELARENT, DARII, FERIO, etc.

- C - La logique moderne. La logique formelle, née d'une réflexion sur les formes du langage usuel, n'est qu'un cas particulier, aux yeux des logiciens modernes, d'un ensemble beaucoup plus vaste qu'on peut appeler logique symbolique ou logique mathématique ou encore logistique (Hilbert, Peano, Whitehead, Russell, Couturat, etc. ). Il s'agit de définir les connexions logiques, abstraction faite du contenu des propositions, d'une manière extrêmement précise en introduisant un système de symboles grâce auxquels les problèmes logiques peuvent être résolus d'une façon analogue à celle des mathématiques. Par exemple, soit p une proposition et q sa contradictoire, la vérité étant notée par 1 et la fausseté par 0, le principe du tiers exclu de la logique formelle s'écrira: si p = 0, q - 1 ; si p = 1, q = 0. Le développement de ces recherches a conduit à des logiques de types divers mais qui sont toutes, de plus en plus, mathématisées.

II. DES MATHÉMATIQUES A LA LOGIQUE

- A - Le formalisme. Il y a une parenté évidente entre la logique et les mathématiques, qui est leur caractère formel, rendu manifeste par l'usage des symboles. Dans les deux cas, en effet, on a affaire à des vérités qui sont indépendantes de l'expérience et qui sont donc formelles dans les deux sens du mot (formel s'opposant à la fois à réel et à incertain). Rien ne témoigne mieux de la puissance de la raison que ces imposantes constructions qui se développent sans considération du réel et auxquelles le réel, d'une certaine manière, doit toujours se plier. Certes, Kant distinguait les jugements synthétiques des mathématiques des jugements analytiques de la logique, mais les uns et les autres sont également a priori et les mathématiques modernes, plus encore que les mathématiques classiques se rapprochent de la logique.

- B - Le raisonnement mathématique. C'est de la logique que relève le raisonnement mathématique (le raisonnement expérimental relevant de la méthodologie): il s'agit seulement de savoir, en effet, si, telles prémisses étant posées, il en résulte nécessairement telles conclusions. On appelle ce raisonnement hypothético-déductif parce qu'il est une déduction, c'est-à-dire qu'il prouve la vérité des conséquences par la vérité des principes, et que les prémisses dont il part sont «posées» par le mathématicien. On distinguait autrefois, à la base des mathématiques, des définitions, des postulats et des axiomes ; aujourd'hui, on a tendance à grouper sous le nom d'axiomatique l'ensemble des propositions indémontrables qu'il faut accepter comme fondements des mathématiques.

- C - Les êtres mathématiques. C'est dire que les définitions sont elles-mêmes des axiomes. Là où les empiristes voyaient des abstractions tirées de l'expérience, les rationalistes des idées innées et Kant des constructions reposant sur l'intuition a priori, les mathématiciens modernes voient plutôt des conventions qui définissent un langage obéissant à des règles strictes. Les êtres mathématiques ont pour seule condition d'existence de n'être pas contradictoires et ils se définissent par leurs relations réciproques. Le mathématicien tire des conséquences logiques d'un système d'axiomes arbitraires mais cohérents (axiomatique de Hilbert pour la géométrie euclidienne, axiomatique de ZermeloFraenkel pour la théorie des ensembles, etc..) et, en ce sens, les mathématiques tendent à se confondre avec la logique.

CONCLUSION Dès 1919, Russell écrivait: «La logique est devenue plus mathématique et la mathématique plus logique. La conséquence est qu'il est maintenant impossible de tracer une ligne de démarcation entre les deux ; en fait, les deux ne font qu'un» (Introduction à la philosophie mathématique).


 ÇA PEUT TOUJOURS SERVIR

En littérature. Lewis Carroll, Alice au pays des merveilles, Logique seins peine.

Peinture : la problématique du nombre d'or ; Panofsky, La Perspective comme forme symbolique.

Cinéma: les films de P. Greenaway, Meurtre dans un jardin anglais et Drowning by numbers.

Indications de lecture

Platon, République, livre VII.

R. Descartes, Les Méditations métaphysiques, 1641.

G. Bachelard, La Philosophie du non, Vrin, 1940.

A. Darbon, La Philosophie des mathématiques, 1949.

J. Piaget, «Les problèmes principaux de l’épistémologie des mathématiques», dans Logique et connaissance scientifique, Encyclopédie de la Pléiade, 1967.

J.-T. Desanti, La Philosophie silencieuse, Seuil. 1975.

R. Thom, « Les mathématiques modernes », in Pourquoi les mathématiques ?