Logique

« les mathématiciens réalistes, les êtres mathématiques possèdent une réa­ lité semblable à celle des Idées platoniciennes, et les théorèmes expri­ ment des propriétés réelles.

Les êtres mathématiques existeraient en dehors de l'esprit avec le même caractère de nécessité que le!> choses de la réalité objective.

• Le mathématicien et philosophe B.

Russell justifie le réafisme par deux arguments fondamentaux : Tout ce qui peut être pensé possède une réalité onto logique et sa réa­ lité est la condit i on préalable, non le résultat du fait qu'il soil pensé.

«Les nombres, les dieux homériques, les relations, les chimères et les espaces à quatre dimensions ont cous l'être •; ma i s si tout ce qui peut être pensé possède l 'être, il faut distinguer l'être et l'exister: "Ce qui n'existe pas doit être quelque chose, ou alors nier son existence n'aurait aucun sens; nous avons donc besoin du concept d 'être, comme ce qui appar­ tient même à ce qui n'e xiste pas.

, Les dieux homériques, les chimères n'existent pas, mais les nombre~, les relations mathématiques existent.

Ainsi la pensée droite (mathématique) est une découverte de ce qui existe.

La vérité ne serait qu'une illusion si elle ne consistait pas dans le succès d'une pensée qui saisit un objet existant.

{Cf.

Descartes : «La vérité consiste en l'être, et la fausseté en non-étre seulement», • Toul ce qui est vrai est quelqve chose •.) • En reconn a bsanl que le~ êtres mathématiques possèdent une réalité propre , indépendante de l'es prit qui les ()Ose, le réalisme permetd' • expli­ quer •philosophiquement l'accord des mathématiques avec la réalité objective.

On peul, en effet, concevoir les êtres mathématiques comme des Idées [au sens platonicien) informant la réalité physique.

• En revanche, le réa lisme ne permet guère d'expliquer que ces êtres puissent donner prise à des constructions déductives, à moins d'admettre que toute démonstration soit une maïeutique.

~J, POSITIOM l>U Ff>JiMALISJME • Pour le forma lis me, auquel se rallient la plupart des mathémat iciens contempQrains, les mathématiques constituent des systèmes axiomatiques.

li n'ex iste donc pas d'êtres mathématiques : les propositions mathé­ matiques comme leurs objets sont vides de tout contenu.

Les mathé­ matiques se réduisent à un maniement correct de symboles .

Ainsi donc les objets des mathématiques ne sont pas des objets en soi, et la pensée mathématique n'a d'existence que dans les codes symboliques qu i la manifestent.. »