LA PHILOSOPHIE DES MATHEMATIQUES

La science mathématique comprend des branches multiples et recouvre des domaines bien divers. Il n'y a pas une, mais des mathématiques : on dit quelquefois que la mathématique est ,la science des quantités et de la mesure, c'est-à-dire des rapports entre les quantités, mais il est plusieurs sortes de quantités : à premi�re vue on peut distinguer la quantité discontinue (dis¬cr�te) ou nombre, objet de l'arithmétique. L'alg�bre est une arithmétique généralisée qui ne consid�re dans les nombres que leurs relations et fait abstraction de leur valeur chiffrée (lettres substituées aux chiffres). La quantité continue ou grandeur (divisible à l'infini) est l'objet de la géométrie. Mais on peut exprimer les formes géométriques par le langage de l'alg�bre (courbes traduites en équations). C'est l'objet de la géométrie analytique, fondée par Fermat et Descartes. Newton et Leibniz ont d�s le XVIIIe si�cle jeté les bases de l'analyse infinitési¬male qui «porte sur toutes les opérations mathématiques qui ont pour objet d'établir des relations entre grandeurs finies par la considération de quantités infinitésimales : mesure des gran¬deurs finies considérées comme limites ; détermination des

grandeurs finies considérées comme rapport de deux quantités infinitésimales (calcul des dérivées); détermination des gran¬deurs finies considérées comme somme d'un nombre infini¬ment grand de quantités infiniment petites (calcul intégral) �.

La mécanique, ou science du mouvement, est d'autre part tra¬ditionnellement comprise dans le corps des sciences mathéma¬tiques.

Enfin des disciplines mathématiques nouvelles sont apparues au XIXe si�cle : la théorie des groupes (un groupe est un sys¬t�me d'éléments mathématiques qui se tirent les uns des autres selon une loi définie : par exemple les nombres entiers, ou bien les multiples de 3, ou bien les polygones convexes).

La théorie des ensembles (qui concerne les collections finies ou infinies d'êtres mathématiques). La topologie, ou géométrie de position ne se soucie ni de la taille des figures ni de leur forme. Ce n'est pas une géométrie des «grandeurs �. Elle s'intéresse seulement à l'ordre de succession des points d'une figure, à la position relative des parties d'une figure. Dans cette perspective, une ellipse et un carré sont équivalents puisqu'on peut passer de l'un à l'autre par une «déformation continue� (en revanche une pi�ce de monnaie et un disque n'ont pas d'équivalence topologique, aucune déformation continue ne peut éliminer le trou au centre du disque qui le rend structura-lement distinct de la pi�ce de monnaie).

Ces br�ves indications laissent deviner la richesse et la diver¬sité de l'activité mathématique dont il est bien difficile de don¬ner une définition générale. Tout au plus pouvons-nous dire avec Descartes que la mathématique est «la science de l'ordre et de la mesure� (la théorie des groupes, la topologie sont typiquement des sciences de l'ordre). Mais l'activité mathéma¬tique, aujourd'hui différenciée en des disciplines multiples, nous révélera peut-être ses caractéristiques essentielles si nous tentons d'analyser ses origines, si nous nous interrogeons sur les sources des notions mathématiques fondamentales.

1. LALANDE, Vocabulaire technique et critique de la philosophie (5' édition page 498).

ORIGINE DES MATHÉMATIQUES

10 THÉORIE EMPIRISTE

ET THÉORIE IDÉALISTE

Pour les empiristes, les notions mathématiques — comme toutes nos connaissances — sont directement tirées de l'expé¬rience sensible et les mathématiques sont une science d'obser¬vation. J. Stuart Mill écrit que «les points, les lignes, les cercles que chacun a dans l'esprit sont de simples copies des points, des lignes, des cercles qu'il a connus dans l'expérience �. Le fil à plomb a suggéré la ligne droite, la surface du lac a suggéré le plan. L'idée du cercle vient du soleil et de la lune, l'idée du cylindre du tronc d'arbre, etc.

De même la notion du nombre serait tirée de la perception des multiplicités concr�tes, globalement appréciées avant d'être dénombrées : le berger inculte saisit d'un seul coup d'oeil que son troupeau n'est pas au complet. Teepfer, pour payer plusieurs déjeuners chez une paysanne qui ne sait pas compter, empile les pi�ces de monnaie jusqu'à ce qu'elle lui dise : «Assez ! � L'ethnographie nous a d'ailleurs enseigné qu'en certaines civi¬lisations tr�s primitives les noms par lesquels on exprime les nombres diff�rent suivant la nature des objets dénombrés. « Trois � par exemple ne se traduira pas par le même mot selon qu'il s'agit de dénombrer des hommes, des barques ou des poissons. La perception empirique des collections d'objets serait la véritable origine de la notion de nombre.

A ce point de vue on oppose traditionnellement le point de vue idéaliste. Socrate, dans un dialogue de Platon, contemple les osselets d'un jeu. Il remarque qu'il y a cinq osselets. Les osse¬lets sont là, ils existent, on peut les toucher. Mais où est le « cinq � ? Le « cinq � n'existe pas au sens où les osselets exis¬tent. Le « cinq � est une façon de penser cet ensemble d'osse¬lets. Le « cinq � n'est pas une chose, c'est une idée. Le mathématicien est un homme qui a quitté le monde des appa¬rences sensibles, du concret, et qui vit dans un monde d'idées, dans un monde de pures relations translucides à l'esprit. L'abs 

traction mathématique n'est pas la schématisation de l'expé¬rience, des réalités perçues, mais le refus de l'expérience. Pour parvenir à l'idée d'une ligne sans épaisseur, il faut refuser de tenir compte de l'expérience de l'épaisseur. Le mathématicien n'observe pas la nature mais il contemple de pures relations d'idées. L'ellipse par exemple n'est pas le contour d'un oeuf mais le lieu géométrique des points dont la somme des dis¬tances à deux points fixes est constante. L'espace du géom�tre est une «étendue intelligible �, non l'étendue concr�te.

Platon, comme on sait, distinguait deux mondes, le monde de l'expérience sensible, qui est un monde d'apparences fugitives et mouvantes, et le monde des essences éternelles. Dans cette perspective, les mathématiques seraient une contemplation d'essences. Sans doute le géom�tre trace-t-il des figures empi¬riques, approximatives, sur le tableau noir. Mais le dessin concret, bien loin d'être la source des pensées géométriques, n'en est que la figuration maladroite. On peut raisonner juste sur des figures fausses et il n'est d'ailleurs pas de figure juste. La droite que je dessine n'est pas tout à fait droite, ce qui revient à dire qu'elle n'est pas droite du tout. Ce dessin n'est qu'un prétexte ; à travers lui je vise une essence : «dans une classe de mathématiques le professeur dessine au tableau une parabole et chaque él�ve trace une parabole sur son cahier. Apr�s quoi on parle de la parabole �. La parabole est une essence idéale qui transcende le tracé empirique par lequel je la symbolise. Husserl écrit : «En géométrie, quand l'expérience intervient ce n'est pas en tant qu'expérience. Le géom�tre, lorsqu'il trace au tableau ses figures, forme des traits qui exis¬tent en fait sur le tableau qui lui-même existe en fait. Mais pas plus que le geste physique de dessiner, l'expérience de la figure dessinée en tant qu'expérience ne fonde aucunement l'intuition et la pensée qui portent sur l'essence géométrique... Pour le géom�tre... l'intuition des essences (Wesenschau)... fournit les ultimes fondements 1. �

Ces deux théories, empiriste et idéaliste, présentent en dépit de leur opposition un point commun : dans les deux cas l'activité du mathématicien est décrite comme une vision (empirique ou

1. HUSSERL, Idées directrices pour une phénoménologie (Trad. Ricœur, N.R.F.) p. 31-32.

intellectuelle), comme une contemplation passive. L'opposi¬tion de l'empirisme et de l'idéalisme doit être aujourd'hui dépassée dans le cadre de la théorie opératoire des mathéma¬tiques.

2° THÉORIE «OPÉRATOIRE� DE L'ORIGINE DES MATHÉMATIQUES

L'histoire des mathématiques nous rév�le clairement que les êtres mathématiques ne sont ni des choses perçues ni des idées contemplées, mais seulement les outils de techniques opéra¬toires d'abord concr�tes, puis de plus en plus abstraites. La géométrie n'est pas née de la simple contemplation de figures concr�tes ou d'essences idéales. Elle est issue de l'arpentage, c'est-à-dire des techniques de mesure de la terre. Les arpen¬teurs égyptiens devaient, lorsque le Nil se retirait, redistribuer les terres. Il leur fallait mesurer les lignes et les surfaces, découvrir des techniques rapides pour calculer les surfaces à partir de l'évaluation des côtés de la figure. Le progr�s de la géométrie est d'abord tout simplement le progr�s de ces tech¬niques de mesure indirecte (longtemps, pour calculer la surface des figures, on se contenta de transformer la figure en un cer¬tain nombre de carrés dont on savait évaluer la surface ; telles sont les techniques de « quadrature � auxquelles on devait sub¬stituer par la suite des méthodes plus simples et plus fécondes).