Axiomes et postulats

Ma réponse consiste en deux éléments : une identité et une différence. L’identité, c’est que postulats et axiomes sont indémontrables. La différence, c’est que les axiomes sont tenus pour évidents (leur vérité apparaît d’elle-même et intuitivement) alors que les postulats ne le sont pas. De là le nom de ces derniers : postulare signifie, en latin, demander. Il s’agit de demander, avant démonstration, qu’on nous accorde un point de départ indémontrable.    Allons maintenant chercher dans le dictionnaire philosophique Lalande (Vocabulaire technique et critique de la philosophie, 10ème édition, 1983):  N.B. : Ce qui est entre crochets, en caractères différents et plus petits, est de moi, et c’est moi qui ai souligné ce qui est en rouge    « Postulat (pp. 797-798) :  A. Primitivement, proposition que le géomètre demande à son auditeur d’accorder, bien qu’elle ne soit ni démontrée, ni évidente. Par suite dans le langage moderne, on appelle postulat tout principe d’un système déductif qui n’est ni une définition, ni une assomption provisoire, ni une proposition assez évidente pour qu’il soit impossible de la mettre en doute (axiome). Elle présente donc, au point de vue de l’assentiment, ce caractère qu’elle pourrait être niée sans contradiction [au contraire d’un axiome], et qu’on ne peut la prendre pour fondement de la démonstration qu’en demandant à l’auditeur s’il en tombe d’accord.

 B. Proposition qui n’est pas évidente par elle-même, mais qu’on est conduit à recevoir parce qu’on ne voit pas d’autre principe auquel on puisse rattacher soit une vérité qu’on ne saurait mettre en doute, soit une opération ou un acte dont la légitimité n’est pas contestée. Postuler se dit parfois dans ce cas, mais presque toujours en un sens un peu lâche, de ce dont la certitude ou la légitimité appelle ou réclame la proposition postulée.    Remarque : au sens A comme au sens B, postulat est un terme qui concerne la logique de l’assentiment, la théorie de la certitude, et non celle de l’implication. Au point de vue formel, une définition, une hypothèse, un postulat jouent le même rôle et sont, au même titre, des principes du raisonnement. […]. «    Les définitions du Lalande sont toujours accompagnées de « discussions « entre experts, en bas de page. Or, on y trouve de quoi semer la confusion. Par exemple cette définition du postulat par un critère généralement réservé à l’axiome, l’évidence : « On donne aussi le nom de postulat à une vérité adoptée d’emblée par le seul fait qu’on la pense, et sans démonstration, parce qu’elle paraît évidente par elle-même à la raison «. L’auteur de cette remarque renvoie à l’intuition rationnelle chez  Descartes. Dans un autre passage de cet article, on prend l’exemple des postulats d’Euclide, et l’on constate que, dans certaines éditions, ils sont présentés comme des axiomes (p. 798, col. B). Comme quoi, les mathématiciens ne semblent pas faire de distinction nette et permanente, comme va le confirmer plus nettement encore la définition de l’axiome. Passons donc maintenant à celle-ci.

   « Axiome (pp. 105-106) :  Du grec axioma qui signifie : 1° considération, estime, dignité ; 2° ce qu’on juge vrai ou bon : opinion, dogme d’une école philosophique… ; 3° proposition générale, énonciation, théorème ; 4° principe connu comme vrai d’où part une démonstration.    A. Sens le plus usuel : prémisse considérée comme évidente, et reçue pour vraie sans démonstration… [jusque-là ça va. Mais les différences vont vite s’estomper dans cet article, et la frontière entre postulat et axiome devenir souvent floue. Par ex. :]. « Cette identité est admise par l’école comme un postulat, ou pour mieux dire un axiome. Elle n’a pas besoin d’être démontrée :…c’est un principe…trop évident pour qu’on se soit jamais arrêté à le considérer. « (Lévy-Bruhl).

 B. Très généralement, dans un système hypothético-déductif, toute proposition, évidente ou non, qui ne se déduit pas d’une autre, mais que l’on pose par un acte décisoire de l’esprit, au début de la déduction (ce sens est rare).  C. Plus proprement : celles des propositions ainsi posées qui constituent une règle générale de pensée logique, par opposition aux postulats qui concernent telle ou telle matière spéciale. «    Dans les remarques critiques qui suivent, on trouve de nouveau de quoi produire de la confusion. Par ex., ce début de la seconde remarque : « Dans la méthodologie moderne, l’emploi d’axiome est assez irrégulier et confus. « Et, plus loin : « …le mot axiome se trouve appliqué de nos jours, au petit bonheur, à l’une quelconque des diverses sortes de propositions… «    Bref, ces notions ont une longue histoire qui remonte à Aristote et rend difficile d’évacuer certains usages pourtant assez différents chez des auteurs aussi éminents que Bacon, Hobbes, Descartes,  Leibniz…, sans compter que les mathématiciens eux-mêmes n’ont pas fixé de sens incontestable. Je suggère donc de s’en tenir aux distinctions que j’avais proposées en cours : elles sont simples à retenir et pertinentes.