Comment généralise-t-on en mathématiques ?

Il est classique de concevoir la généralisation comme le passage de, quelques cas à tous les cas de la même espèce. Cette démarche mentale intervient-elle en mathématiques ? On pourrait citer certains cas de généralisations de ce genre : ainsi c'est après un nombre d'observations nécessairement limité que PYTHAGORE énonça que la somme des nombres impairs à partir de l'unité est toujours un carré parfait. Mais si une généralisation de ce genre peut préparer les voies à la recherche mathématique, elle ne constitue pas une opération proprement mathématique : le mathématicien ne saurait s'en contenter et il n'est satisfait que lorsqu'il a démontré la propriété générale constatée comme un fait dans un grand nombre de cas. Il n'en est pas de même du raisonnement par récurrence, dont le mathématicien, d'après POINCARÉ, fait un si grand usage : il constitue un passage de quelques cas à tous les cas, mais par un raisonnement rigoureux qui ne laisse place à aucun doute. Plus souvent encore, d'après GOBlOT, le mathématicien étend les lois qu'il a établies en ramenant aux cas privilégiés, c'est-à-dire permettant une démonstration facile, d'autres cas dans lesquels la démonstration est impossible ou moins aisée : c'est ainsi que le géomètre, pour déterminer la surface des figures planes, ramène le trapèze au triangle, le triangle au parallélogramme, le parallélogramme au rectangle... Mais il ne faudrait pas croire que la généralisation en mathématiques ne se distingue pas de la généralisation expérimentale. Tandis que la généralisation expérimentale est une extrapolation et va au-delà des données, la généralisation mathématique reste rigoureusement dans le domaine du donné et, par suite, n'expose à aucune erreur.