L'évolution de la notion de vérité en mathématiques ?
Publié le 14/03/2004
Extrait du document
Dans la géométrie euclidienne, «les termes propres à la théorie ne sont
jamais introduits sans être définis ; les propositions n'y sont jamais
avancées sans être démontrées, à l'exception d'un petit nombre d'entre
elles qui sont énoncées d'abord à titre de principes : la démonstration
ne peut en effet remonter à l'infini et doit bien reposer sur quelques
propositions premières, mais on a pris soin de les choisir telles
qu'aucun doute ne subsiste à leur égard dans un esprit sain» (R. Blanché,
L'Axiomatique, 1970).
Axiomes, postulats, théorèmes
On distinguait encore au début du XIXe siècle :- l'axiome, proposition indémontrable et absolument évidente (par ex. :
«deux choses égales entre elles sont égales à une même troisième») ;- et le postulat, proposition indémontrable, également, mais, censément,
moins «évidente» (par ex. : «toute droite peut être prolongée
indéfiniment»).Enfin, on appelait (et on appelle encore) théorèmes les propositions
démontrées à l'aide de ces propositions indémontrables.On s'essaya donc, à partir du XVIIe siècle, de démontrer tel ou tel des
postulats euclidiens, afin de le faire passer dans le corps des
théorèmes et de réduire ainsi le nombre des propositions acceptées sans
démonstration.Les géométries non-euclidiennesCe fut, précisément, l'échec des tentatives faites pour démontrer un
certain postulat d'Euclide (lequel affirmait que par un point extérieur
à une droite, il passe une parallèle à cette droite et une seule) qui
aboutit à la constitution des premières géométries non-euclidiennes
(Lobatchevski, 1826 ; Riemann, 1853).La somme des angles d'un triangle est-elle égale, inférieure ou
supérieure à deux angles droits ? Des trois cas concevables, un géomètre
ancien eût répondu que seul le premier était vrai.
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