Fiche sur les fonctions
Publié le 27/02/2008
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Généralités sur les fonctions
Voir des propriétés sur la calculette et de les démontrer par des calculs : – ensemble de définition – solutions d'équations et d'inéquations – croissance et décroissance – symétries – maximum et minimum (par exemple 4+x² a 4 comme minimum) A. Rappels 1. Image et antécédent Une fonctionf essaie d'associer à chaque réel x un unique réel notéf (x). On dit alors quef (x) est l'image de x, et que x est un antécédent def (x). Si elle existe, l'image de x est unique, par contre un réel y peut avoir plusieurs antécédents. On note :f : x ?f (x). Exemple Soitf : x ? x² + 2x + 3. L'image du réel – 3 estf (– 3) = (– 3)² + 2 × (– 3) + 3 = 9 – 6 + 3 = 6. L'image du réel 1 est f(1) = 1² + 2 × 1 + 3 = 1 + 2 + 3 = 6. Le réel 6 a donc au moins 2 antécédents qui sont –3 et 1. 2. Ensemble de définition L'ensemble D des réels qui ont une image par la fonctionf est appelé ensemble de définition f def . Exemples 1. Fonctions affines : elles sont du type x ? ax + b où a et b sont deux coefficients réels; leur ensemble de définition est R. n 2. Fonctions monômes : elles sont du type x ?ax avec a coefficient non nul et n entier naturel; n est le degré du monôme. Leur ensemble de définition est R. 3. Fonctions polynômes : ce sont des sommes de monômes; le degré d'un polynôme est le degré de son monôme de plus haut degré. Leur ensemble de définition est R. 3 2 La fonctionf : x ? 2x – 4x + 1 est un polynôme de degré 3. 1 * 4. Fonction inverse : x ? ; son ensemble de définition est R – {0} ou R , car on ne peut pas x diviser par 0. 5. Fonction racine carrée : x ? ?x ; son ensemble de définition est [0; + 8[, car seuls les nombres positifs ont une racine carrée. 3. Courbe représentative d'une fonction ? ? Dans le plan muni d'un repère ?O, i ,j ? , on appelle courbe représentative d'une fonctionf définie sur D l'ensemble des points de coordonnées (x ,f (x) ) avec x élément de D . f f
Un point M(x,y) se trouve sur la courbe si et seulement si y =f (x). On dit que y =f (x) est une équation de la courbe. Exemple Soitf la fonction définie sur [– 4; 4] parf (x) = x² – 5. . On a le tableau de valeurs suivants : x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 f (x) 11 4 -1 -4 -5 -4 -1 4 11 On construit la courbe : 4. Sens de variations Fonction croissante Une fonctionf est croissante sur un intervalle I lorsqu'elle conserve l'ordre des nombres. Pour tous les réels u et v de I, si u < v alorsf (u)
x - 4 0 4 11 11 f(x) - 5 La fonctionf est décroissante de 11 à - 5 sur [- 4; 0] et croissante de - 5 à 11 sur [0 ; 4]. Elle a un minimum égal à - 5 pour x = 0. 5. Parité et symétries Fonction paire Une fonctionf définie sur D est paire si pour tout réel x de D , – x ? D etf (– x) =f (x). f f f La courbe représentative d'une fonction paire admet l'axe des ordonnées du repère comme axe de symétrie. Exemples • Les fonctions monômes de degré pair sont des fonctions paires. • La fonction valeur absolue est une fonction paire. Fonction impaire Une fonctionf définie sur D est impaire si pour tout réel x de D , – x ? D etf (– x) = –f (x). f f f La courbe représentative d'une fonction paire admet l'origine du repère comme centre de symétrie. Exemples • Les fonctions monômes de degré impair sont des fonctions impaires. • La fonction inverse est une fonction impaire. B. Fonctions de référence Une série de tableaux de variations à connaître pour certaines fonctions usuelles : fonctions affines, carré, racine carrée, inverse, valeur absolue. 1. Fonctions affines Une fonctionf est une fonction affine s'il existe deux réels a et b tels quef (x) = ax + b. Elle est définie sur R. Sa représentation graphique est la droite d'équation y = ax + b. (le réel a est appelé coefficient directeur de la droite, le réel b est appelé ordonnée à l'origine (image de 0) ). Si a = 0,f est une fonction constante. Pour tout réel x,f (x) = b. La représentation graphique def est une droite horizontale (parallèle à l'axe des abscisses du repère). b Si a ? 0, f s'annule pour x = - . a On distingue les deux cas suivants :
Si a > 0,f est une fonction croissante. Si a < 0,f est une fonction décroissante. -b/a -b/a x x f(x) 0 f(x) 0 2. Fonction carré Il s'agit de la fonction x ? x². C'est une fonction paire définie sur R. On a le tableau de variations suivant : x 0 x² 0 La fonction carrée est décroissante sur ]-? ; 0 ] et croissante sur ]0 ; +?]. 0 est un minimum : un carré est toujours positif. La courbe est une parabole. 3. Fonction inverse 1 Il s'agit de la fonction x ? . Son ensemble de définition est R* (on ne peut pas diviser par x 0). C'est une fonction impaire. On a le tableau de variations suivant : x 0 1/x La courbe est une hyperbole. 4. Fonction racine carrée Il s'agit de la fonction x ? ?x . Son ensemble de définition est [0; +8[.
On a le tableau de variations suivant : ?8 x 0 ??x ? La courbe est une demi-parabole. 5. Fonction valeur absolue. Il s'agit de la fonction x ? x . C'est une fonction paire définie sur R. Si x ? 0, x = x; si x < 0, x = x. On a le tableau de variations suivant : x 0 x 0 La courbe est formée de deux demi-droites issues des droites d'équation y = x et y = – x. C. Opérations sur les fonctions 1. Addition d'un réel. Multiplication par un réel. Soitf une fonction définie sur D et k un réel. f La fonction x ?f (x) + k a les mêmes variations que la fonctionf . Si k est positif, la fonction x ? k.f (x) a les mêmes variations quef . Si k est négatif, la fonction x ? k.f (x) a les variations inverses de celles def . Exemple 1 On sait que la fonction x ? est décroissante sur ]0; +8[. On en déduit que : x 1 • la fonction x ? ?4 est décroissante sur ]0; +8[. x 3 • la fonction x ? est décroissante sur]0; +8[. x -2 • la fonction x ? est croissante sur ]0; +8[. x
2. Opérations algébriques Soient f et g deux fonctions dont les ensembles de définition sont D et D . f g On définit les fonctions suivantes : • La fonctionf +g : x ?f (x)+ g(x); son ensemble de définition est l'intersection de D et D . f g • La fonctionf – g : x ?f (x)+ g(x); son ensemble de définition est l'intersection de D et D . f g • La fonctionf .g : x ?f (x) ×g(x); son ensemble de définition est l'intersection de D et D . f g f f ?x ? • La fonction : x ? ; son ensemble de définition est l'intersection de D et D privée g g ?x ? f g des valeurs de x qui annulent g (x). Propriétés : • La somme de deux fonctions croissantes est croissante. • La somme de deux fonctions décroissantes est décroissante. Attention : il n'y a pas de règles générales de ce genre pour les autres opérations. 3. Composition des fonctions Soientf et g deux fonctions dont les ensembles de définition sont D et D . f g La fonction g °f (lire g rond f) est la fonction qui à x associe g[f (x) ]. Ainsi, pour tout x, on a g °f (x) = g[f (x) ]. g °f est définie pour x ? D et f (x) ? D . f g Exemple Soientf : x ?2x – 1 et g : x ? x² – x. On a g °f (x) = g(2x – 1) = (2x – 1)² – (2x – 1) = 4x² – 6x + 2 etf °g (x) =f (x² – 1) = 2(x² – x) – 1 = 2x² – 2x – 1. En général les fonctions g °f etf °g sont différentes. Propriétés Soientf et g deux fonctions dont les ensembles de définition sont D et D . f g Soit I un intervalle de D sur lequelf est monotone. f Soit J un intervalle de D sur lequel g est monotone et tel que si x est dans I,f (x) est dans J. g • Lorsquef et g ont même sens de variation, g °f est croissante sur I. • Lorsquef et g ont des sens de variation différents, g °f est décroissante sur I. Exemple Etudier les variations de la fonctionf : x ? (x – 2)² . Soientf : x ? x – 2 etf : x ? x². 1 2 On af =f 2 °f 1. 1. On prend I = [2; + 8[.f est croissante sur I. Pour tout x de I,f (x) est dans J avec J = [0; + 8[ 1 1 etf est croissante sur J. On en déduit quef °f est croissante sur I. 2 2 1 2. On prend I = ] –8; 2].f est croissante sur I. Pour tout x de I,f (x) est dans J avec J =] –8; 0] 1 1 etf est décroissante sur J. On en déduit quef °f est décroissante sur I. 2 2 1
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