Fonctions

´ Chapitre 4 : Etudes de fonctions e de la 1`re S ` la TS. a Exercice n 1: ? On donne la fonction f d´finie sur R par : f (x) = -x4 + 2x2 + 1. e On appelle ? la courbe repr´sentative de f dans un rep`re orthonorm´ (O; ?, ?) . e e e ´ 1. Etudier la parit´ de f . e 2. D´terminer les limites de f aux bornes de son domaine de d´finition. e e 3. Calculer la fonction d´riv´e de f et ´tudier son signe. ee e 4. Dresser le tableau de variations de f . 5. Tracer la courbe repr´sentative de f . e Corrig´ e Exercice n 2: ? x2 + x + 1 . x-1 On note (Cf ) sa courbe repr´sentative dans un rep`re orthonorm´. e e e Soit la fonction d´finie sur R - {1}, par f (x) = e 1. Montrer que (Cf ) admet un centre de sym´trie en un point d'abscisse 1. e 2. D´terminer les limites de f aux bornes de son domaine de d´finition. Que peut-on e e en d´duire pour (Cf ) ? e x . 3. D´terminer trois r´els a, b et c tels que : f (x) = ax + b + e e x-1 4. En d´duire l'existence d'une asymptote oblique pour (Cf ) en +?. e 5. Calculer la fonction d´riv´e de f et ´tudier son signe. ee e 6. Dresser le tableau de variation de f . 7. Tracer (Cf ). Corrig´ e Exercice n 3: ? On donne la fonction f d´finie par f (x) = e repr´sentative dans un rep`re orthonorm´. e e e 3 , et on note (Cf ) sa courbe x2 + 2x - 3 1. D´terminer le domaine de d´finition Df de la fonction f . e e 2. Montrer que la droite d'´quation x = -1 est axe de sym´trie de (Cf ). e e Dans la suite de l'exercice, la fonction f sera ´tudi´e sur [-1; 1[?]1; +?[. e e 3. D´terminer les limites en 1 et la limite en +?. Que peut-on en d´duire pour (Cf ) ? e e 4. Calculer la fonction d´riv´e de f et ´tudier son signe. ee e 5. Dresser le tableau de variations de f . 6. Tracer (Cf ). Corrig´ e L.BILLOT 1 DDL ´ Chapitre 4 : Etudes de fonctions e de la 1`re S ` la TS. a Exercice n 4: ? On donne la fonction f d´finie par f (x) = e repr´sentative dans un rep`re orthonorm´. e e e x2 , et on note (Cf ) sa courbe x2 - 2x + 2 1. D´terminer le domaine de d´finition de f . e e 2. D´terminer les limites de f aux bornes du domaine, en d´duire l'existence d'une e e asymptote horizontale (?) pour (Cf ). ´ 3. Etudier les positions relatives de (Cf )et de (?). 4. Calculer la fonction d´riv´e de f et ´tudier son signe. ee e 5. Dresser le tableau de variations de f . 6. Tracer (Cf ). Corrig´ e Exercice n 5: ? On donne la fonction f d´finie par f (x) = e sentative dans un rep`re orthonorm´. e e 2x3 + 27 et on note (Cf ) sa courbe repr´e 2x2 1. D´terminer l'ensemble de d´finition Df de f . e e 2. D´terminer les limites de f aux bornes de son ensemble de d´finition. e e 3. Montrer que la droite d'´quation y = x est asymptote oblique ` la courbe en +? e a et en -?. 4. (a) Justifier l'´quivalence : x e 3 <=> x3 27. (b) Calculer la fonction d´riv´e de f . ee ´ (c) Etudier le signe de f ? . 5. Dresser le tableau de variations de f . 6. Tracer la courbe repr´sentative de f . e Corrig´ e Exercice n 6: ? On donne la fonction f d´finie sur R par f (x) = cos 2x - 2 cos x et on note (Cf ) sa e courbe repr´sentative dans un rep`re orthonorm´. e e e 1. (a) Montrer que f est 2? -p´riodique. e (b) Montrer que f est paire. 2. (a) Montrer que la fonction d´riv´e de f s'´crit : f ? (x) = 2 sin x(1 - 2 cos x). ee e ? ´ (b) Etudier le signe de f sur [0; ? ]. 3. Dresser le tableau de variations de f sur [0; ? ]. 4. Tracer (Cf ) sur un intervalle de longueur 4? . Corrig´ e L.BILLOT 2 DDL ´ Chapitre 4 : Etudes de fonctions e de la 1`re S ` la TS. a Exercice n 7: ? On donne la fonction f d´finie sur R par f (x) = e sin x et on note (Cf ) sa courbe 1 - sin x repr´sentative dans un rep`re orthonorm´. e e e ? 1. Montrer que f est d´finie ssi x = + 2k? avec k ? Z. e 2 2. Montrer que f est 2? -p´riodique. e Pour la suite de l'exercice, on ´tudiera la fonction sur l'intervalle - e 3? ? ;. 22 3. D´terminer les limites de f en : e 3? (a)...