fractions - mathématiques.

fractions - mathématiques. 1 PRÉSENTATION fractions, nombres rationnels s'exprimant sous la forme d'un quotient p/q de deux entiers relatifs p et q, avec q non nul ; p est appelé le numérateur de la fraction et q son dénominateur. 2 ORIGINE L'étude des fractions apparaît pour la première fois dans le livre V des Éléments d'Euclide. Cet ouvrage de synthèse reprend, en particulier, les travaux de l'école pythagoricienne sur la théorie des proportions. Pythagore et ses élèves s'étaient attachés à étudier les rapports de grandeur à partir de considérations géométriques ; ils ont ainsi introduit l'usage des fractions, plus tard dénommées nombres rationnels. 3 PROPRIÉTÉS DES FRACTIONS ET DE L'ENSEMBLE DES RATIONNELS L'addition de deux fractions p/q et p'/q' est définie par : p/q + p'/q' = (pq' + p'q) / qq' et leur multiplication par : p/q × p'/q' = pp'/qq' Lorsqu'elles sont égales, on a la relation d'équivalence suivante : p/q = p'/q' pq' = p'q L'ensemble des nombres rationnels, noté , comprend notamment le sous-ensemble des entiers relatifs, car tout élément z de s'exprime également comme la fraction z/1, et le sous-ensemble des décimaux , puisque tout décimal d de s'exprime comme la fraction d = n/10p,où n et p sont des entiers naturels. 4 CORPS DES FRACTIONS RATIONNELLES L'ensemble des nombres rationnels forme un corps, appelé corps des fractions rationnelles. En effet, l'ensemble est muni de deux lois de composition interne : la loi additive notée Å et la loi multiplicative notée Ä ; chacune possède un élément neutre (respectivement 0 et 1) et pour chacune d'entre elles, il est possible de définir des éléments inverses : - (p/q) = - p/q est l'opposé de p/q pour la loi additive et q/p est l'inverse de p/q pour la loi multiplicative. L'ensemble additive ( , Å) est un groupe commutatif tel que : p/q Å p'/q' = p'/q' Å p/q si sa loi multiplicative est associative et vérifie donc la relation : p/q Ä (p'/q' Ä p''/q'') = (p/q Ä p'/q') Ä p''/q'' muni de la loi et distributive par rapport à l'addition : p/q Ä (p'/q' Å p''/q'') = p/q Ä p'/q' Å p/q Ä p''/q'' Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Tous droits réservés.