HISTOIRE DES MATHEMATIQUES

« la Pan-géométrie, géométrie générale qui englobe celle d'Euclide comme un cas particulier.

Dans cette géométrie oùl'espace est courbe, il y a plusieurs « parallèles » à une droite, si on définit parallèles par « non sécantes », et lasomme des angles d'un triangle est inférieure à deux droits.

Riemann, pour sa part, construit une géométrie où laligne droite n'est pas infinie, où les parallèles ont complètement disparu, et où la somme des angles d'un triangle estsupérieure à deux droits.

Ces géométries ont pour caractéristique commune de supprimer tout recours à l'espacehumain, et de franchir un nouveau degré dans l'abstraction.— La théorie des groupes : Lobatchevski se figurait avoir atteint les sommets de l'abstraction, mais après lui, saPan-géométrie devint à son tour le cas particulier d'une métagéométrie, inventée par Klein.

Et la théorie desgroupes, préparée par les travaux de Galois et Sophus Lie, ne s'intéresse plus désormais aux concepts ou auxaxiomes formulés, mais aux lois des symboles formant les groupes, ce qui conduit à envisager une théorie généraledes relations. 2) Interprétation des thèmes et réalisation des expériences. Ce ne sont plus les créateurs eux-mêmes qui appliquent leurs découvertes immédiatement dans le domaine de laphysique, mais les physiciens qui utilisent les découvertes des mathématiciens pour la résolution de problèmesexpérimentaux.— La théorie des imaginaires: les travaux de Cauchy (1820 - 1830), permettent à Maxwell de formuler sa théorie surl'identité de transmission entre l'électricité, la lumière et la chaleur, vingt-cinq ans plus tard, et à Hertz, cinquanteans après, de découvrir les ondes électriques, ou hertziennes.— Les géométries non euclidien ont été utilisées pour la mise au point de la physique d'Einstein.— La théorie des groupe; a permis la découverte des « groupes de Lorentz », au centre de la théorie de la relativitérestreinte ; de surcroît, elle renouvelle la théorie chimique des valences, et ses prolongements modernes en théoriedes « groupes continus de transformation » ont permis à Dirac de les appliquer à la mécanique ondulatoire, et deprévoir et d'étudier une nouvelle propriété de l'électron, le « spin ». • Les mathématiques modernes A partir de 1933, le groupe Nicolas Bourbaki, influencé par Hilbert, (1862-1943), entreprit une réforme de laprésentation et de l'enseignement des mathématiques, en insistant surtout sur l'axiomatisation et la formalisation, eten poussant le processus d'abstraction au point que l'intuition sensible (qui porte à essayer d'imaginer pourcomprendre) devienne impossible et même inhibitrice du raisonnement.L'on passe ainsi du nombre concret - 5 objets, au nombre seul - 5, puis au nombre littéral - x ou infini, au nombrenégatif, au nombre irrationnel, aux nombres transcendants, jusqu'au nombre p-adique ; le même phénomène seproduit également avec la notion d'espace.C'est ainsi que l'on obtint la théorie des groupes, et celle des ensembles.La première consiste à formaliser à l'extrême les opérations mathématiques, la seconde, imaginée par Cantor (1829-1920), unifie les différentes disciplines mathématiques en étudiant les propriétés des « ensembles », sans sepréoccuper de la nature des éléments qui les composent, et aborde ainsi les structures topologiques quicorrespondent à des espaces différents.. »