LES MATHEMATIQUES - COURS

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OBJET DES MATHÉMATIQUES -A - L'empirisme.

Selon Stuart Mill " les points, les lignes, les cercles, que chacun a dans l'esprit, sont de simples copies des points, lignes, cercles qu'il a connus par l'expérience [ ...

] la géométrie a pour objet les lignes, les angles et les figures tels qu'ils existent et les définitions doivent être considérées comme nos premières et nos plus évidentes généra­ lisations relatives à ces objets naturels "· II en résulte que les postulats sont « des vérités expérimentales, des généralisations de l'obser­ vation "· Par exemple le sixième postulat d'Euclide (deux droites ne peuvent enclore un espace) est une "induction résultant du témoi­ gnage de nos sens ».-Si l'on donne aux mathématiques cette origine expérimentale on comprend mal leur certitude apodictique.

D'ailleurs « le droit est père du courbe " comme disait Platon, ce qui signifie que les objets réels ne peuvent être le modèle des objets mathématiques.

- B - Le conventionalisme.

Poincaré considère les définitions et les postulats comme de pures conventions : " notre choix, parmi toutes les conventions possibfes, est guidé par des faits expérimentaux ; mais il reste libre et n'est limité que par la nécessité d'éviter toute contradiction "· Ainsi s'expliquerait l'existence des géométries non euclidiennes (Lobat­ chevsky, Riemann) et il faudrait dire que : « une géométrie ne peut pas être plus vraie qu'une autre ; elle peut seulement être plus commode ».

- Si l'on admettait cette thèse de tendance pragmatiste, la part d'arbitraire que renfermeraient nos concepts mathématiques justifierait cette boutade de Bertrand Russel: « les mathématiques sont une science dans laquelle on ne sait pas de quoi on parle ni si ce que l'on dit est vrai "· - C - Le rationalisme.

Descartes croit que les idées mathématiques sont innées et que nous les trouvons dans notre esprit avec « leurs vraies et immuables natures» (Cf.

Platon).

- Ce réalisme des idées est bien douteux et Kant cherche à rendre compte de la nécessité et de l'universalité des concepts mathématiques en en faisant des constructions a priori.

« Les mathématiques sont, dit-il, une connaissance rationnelle par construction de concepts "· C'est parce qu'une matière nous est donnée a priori (les intuitions pures de l'espace et du temps) que nous pouvons former des concepts qui ne sont ni conventionnels ni empiriques mais a priori, universels et nécessaires.

Et il en est de. »