MATHÉMATIQUES : La théorie des ensembles

« on place les éléments entre accolades et l'ordre des éléments n'importe pas) soit en donnant le motif de leur réunion dans l'ensemble c'est-à-dire leurs propriétés com­ munes : A est l'ensemble des chiffres impairs.

Il aP.paralt immédiatement que par le deuxième procédé on peut définir un ensemble ne comportant pas d'élément : soit B l'en­ semble des nombres impairs divisibles par 2, cet ensemble ne comporte aucun élément, il est dit vide, on le note : B = { 0} on peut regrouper les éléments d'un ensemblè pour constituer d'autres ensembles que l'on appellera sous-ensembles ; les ensembles sui­ vants : B = { 0} D = { 3, 5} c = { 1, 3} E = { 1, 7, 9} sont des sous-ensembles de l'ensemble A ci-dessus.

Pour exprimer qu'un élément appartient à un ensemble on emploie le symbole d'appar­ tenance E 3 E A (trois est un élément de A) Pour exprimer qu'un ensemble est un sous­ ensemble d'un autre ensemble on emploie le symbole d'inclusion c.

D = { 3, 5 } c A (D est inclus dans A) ce qui revient au même que d'écrire : 3 E A et 5 E A ou en généralisant : - V n E D (n E D -+ n e A) (quel que soit n élément de D : n élément de D implique que n est élément de A) V («quel que soit>> ou «pour tout>>) est appelé qualificateur universel, ---+- se lit " implique » ou « entralne ».

Nous rencon­ trerons plus tard un autre « ~uantificateur » H qui porte le nom de quantifzcateur existentiel.

Union et Intersection :Nous avons dit que tes ensembles pou­ vaient donner naissance à plusieurs sous­ ensembles, ils peuvent également en général être regroupés pour former un ensemble plus vaste : ils peuvent être .unis (ou réunis) le symbole de l'union est U.

En gardant les .

mêmes exemples que ci-dessus : sous-ensemble intersection.

Le symbole de l'intersection est fl que l'on lit en général «inter».

D fl C = {3} (D inter C est égal à l'en­ semble contenant 3).

D fl E = {0} dire que l'intersection de D et de E est l'ensemble vide signifie simplement que ces deux ensembles n'ont aucun élément com­ mun : ils sont disjoints.

L'union et l'intersection possédent en commun les trois propriétés suivantes : commutativité : AUB=BUA AflB=BflA associativité : (AUB) U C = A U (BUC) (AflB) n C = An (BflC) idempotence : AUA = AflA = A cette dernière propriété montre en particulier que l'union n'est pas une addition pure et simple.

En outre l'intersection est distribu­ tive par rapport à l'union et l'union est distributive par rapport à l'intersection, c'est-à-dire que l'on a : · A fl (BUC) = (AOB) U (BflC) A U (BflC) = (AUB) fl (AUC) on peut également établir deux autres pro­ priétés ayant une certaine importance : A fl (AUB) = A U (AflB) == A (lois d'absorption) Le diagramme d'Euler-Venn On représente souvent les ensembles sous la forme d'une courbe entourant les éléments, l'ensemble le plus général intéressant pour le problème traité étant s'il y a lieu représenté par un rectangle (on l'appelle souvent univers) (fig.

1).

DUE = { 3, 5, 1, 7, 9 } = A B = { ~} (D union E égale A) DUC = {1, 3, 5} dans le deuxième cas un des éléments (3) qui appartenait à chacun des ensembles unis ne figure qu'une fois.

Cet ou ces éléments communs à. »