Propriétés de Géométrie vues au Collège

 

             Propriétés de Géométrie vues au Collège

 

 

Avant toute chose, vous devez comprendre la différence entre un propriété, une propriété réciproque et une propriété caractéristique.

Une propriété s’applique à un objet mathématique ; cela signifie que si vous disposez de l’objet, alors vous pouvez utiliser toutes les particularités de cet objet.

Une propriété réciproque à le même rôle qu’une propriété caractéristique. Elle permet de reconnaître l’objet mathématique. Elles contiennent souvent les mots « si » et « alors », « pour que » et « il faut et il suffit » ou « il suffit ».

 

1. Propriétés relatives à la droite, au segment de droite et au cercle:

• droites perpendiculaires, droites parallèles

définition : deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles.

Cette définition peut s’énoncer sous forme de propriété réciproque.

Théorème :

Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles.

Axiome d’Euclide : Soit une droite (d) et un point  A   (d), alors il existe une seule droite parallèle à (d) passant par A.

Théorème :

Si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre.

Théorème :

Si deux droites sont parallèles à une même troisième droite, alors elles sont parallèles elles – mêmes.

Autre énoncé :

Si deux droites sont parallèles, toute droite parallèle à l’une est parallèles à l’autre.

Axiome de perpendicularité :

Soit une droite (d) et un point A, alors il existe une seule droite perpendiculaire à (d) passant par A.

(Remarquez qu’ici, on ne précise pas que le point A  (d) )

• segment de droite

Propriété :

Tout point situé sur la médiatrice d’un segment est équidistant de ses extrémités.

Propriété caractéristique de la médiatrice d’un segment :

Si un point est équidistant des extrémités d’un segment, alors il appartient à sa médiatrice.

• Cercle

Propriétés :

1)      le centre d’un cercle est son centre de symétrie.

2)      Tout diamètre est un axe de symétrie d’un cercle.

3)      Tout diamètre est la médiatrice d’une corde du cercle.

• Cercle et droite : tangente à un cercle

définition : on dit qu’une droite est tangente à un cercle, lorsqu’ils n’ont qu’un seul point commun.

Propriété :

La droite tangente à un cercle est perpendiculaire à la sécante diamétrale qui passe par le point de contact.

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1. Propriétés relatives aux triangles :

• existence d’un triangle

Propriété :

Pour qu’un triangle soit constructible, il faut et il suffit que la longueur de chaque côté soit strictement inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.

• Le théorème des milieux

La droite qui passe par les milieux de deux côtés d’un triangle est parallèle au support du troisième côté.

Corollaire 1 : dans un triangle, la droite qui passe par le milieu d’un côté et qui est parallèle au support d’un autre côté, coupe le troisième côté en son milieu.

Corollaire 2 : le segment qui joint les milieux de deux côtés d’un triangle, a pour longueur , la moitié de la longueur du troisième côté.

•  
• droites particulières d’un triangle

Propriétés :

1)      Les trois médiatrices d’un triangle concourent en un point équidistant des trois sommet ; c’est le centre du cercle circonscrit au triangle.

2)      Les trois hauteurs d’un triangle concourent en un point appelé orthocentre du triangle.

3)      Les trois médianes d’un triangle concourent en un point appelé centre de gravité du triangle.

4)      Le centre de gravité d’un triangle se trouve sur chaque médiane, aux deux – tiers de sa longueur, en partant du sommet correspondant.

5)      Les trois bissectrices d’un triangle concourent en un point ; c’est le centre du cercle inscrit dans le triangle.

• Aire du triangle :

L’aire d’un triangle est égale au demi – produit de la longueur d’un côté par la hauteur correspondante.

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• triangle isocèle

Propriétés :

1)      Dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet principal est en même temps médiane, médiatrice et hauteur  du côté opposé, et bissectrice de l’angle au sommet.

2)      Le triangle isocèle admet un axe de symétrie : la médiatrice du côté opposé au sommet principal.

                          Propriétés caractéristiques :

3)      Si un triangle a deux côtés de même longueur, alors il est isocèle.

4)      Si un triangle a deux angles égaux, alors il est isocèle.

5)      Si dans un triangle, une hauteur est en même temps médiane du côté correspondant, alors c’est un triangle isocèle.

6)      Si dans un triangle, une médiane, ou une hauteur est en même temps bissectrice d’un angle, alors c’est un triangle isocèle.

• triangle équilatéral

Propriétés :

1)      Le triangle équilatéral admet trois axes de symétrie : les médiatrices de ses côtés.

2)      Les angles d’un triangle équilatéral sont tous égaux à 60°.

3)      Les trois hauteurs d’ un triangle équilatéral sont en même temps médianes , médiatrices des côtés et bissectrices des angles.

                          Propriétés caractéristiques :

1)      Si un triangle isocèle a un angle de 60°, alors il est équilatéral..

2)      Si dans un triangle, deux médianes sont en même temps hauteurs des côtés correspondants, alors c’est un triangle équilatéral.

3)      Si dans un triangle, deux médianes ou deux hauteurs sont en même temps bissectrices, alors c’est un triangle équilatéral.     

4)      Si un triangle admet deux axes de symétrie, alors il est équilatéral.  

• triangle rectangle

Propriétés :

1)      Dans un triangle rectangle, la médiane relative à l’hypoténuse a pour longueur la moitié de la longueur de l’hypoténuse.

2)      Le triangle rectangle est inscrit dans un cercle dont le diamètre en est un côté.

3)      Les angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires.

                           Propriétés caractéristiques :

4)      Si dans un triangle, une médiane a pour longueur, la moitié de la longueur du côté correspondant, alors c’est un triangle rectangle.

5)      Si un triangle est inscrit dans un cercle dont le diamètre en est un côté, alors c’est un triangle rectangle.

6)      Si le centre du cercle circonscrit à un triangle appartient à l’un des côtés, alors c’est un triangle rectangle.

• trigonométrie dans le triangle rectangle

Cosinus d’un angle aigu :

définition : dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu est égal au quotient de la longueur du côté adjacent à l’angle par la longueur de l’hypoténuse.

 

Sinus d’un angle aigu :

définition : dans un triangle rectangle, le sinus d’un angle aigu est égal au quotient de la longueur du côté opposé à l’angle par la longueur de l’hypoténuse.

Tangente d’un angle aigu :

définition : dans un triangle rectangle, la tangente d’un angle aigu est égal au quotient de la longueur du côté opposé à l’angle par la longueur du côté adjacent à l’angle.

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III. Propriétés relatives aux angles :

 

• angles et droites parallèles

Propriétés :

1)      deux droites parallèles coupées par une sécante, forment avec celle – ci des angles correspondants égaux.

2)      Deux droites parallèles coupées par une sécante forment avec celle – ci  des angles alternes – internes égaux.

 

                          Propriétés caractéristiques :

3)      Si deux droites forment avec une sécante, des angles correspondants égaux, alors elles sont parallèles.

4)      Si deux droites forment avec une sécante, des angles alternes – internes égaux, alors elles sont parallèles.

 

• angles inscrits, angles au centre

définitions : on appelle angle inscrit, tout angle dont le sommet est sur un cercle et dont les côtés sont sécants au cercle.

Remarque : si l’un des côtés de l’angle est tangent au cercle, on dira quand même que l’angle est inscrit.

On appelle angle au centre, tout angle dont le sommet est le centre du cercle.

Théorème de l’angle inscrit :

La mesure de l’angle inscrit est égal à la moitié de la mesure de l’angle au centre qui intercepte le même arc.

Attention : si l’angle inscrit est obtus, l’angle au centre qui intercepte  le même arc, est un angle rentrant ; c’est – à – dire que sa mesure est supérieure à 180°.

Propriétés :

1)      deux angles inscrits d’un même cercle qui interceptent le même arc, sont égaux.

2)      Deux angles inscrits d’un même cercle qui interceptent des arcs égaux, sont égaux.

3)      Des cordes de même longueur sous – tendent des arc égaux.

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1. Propriétés relatives aux quadrilatères particuliers :

• Parallélogramme

définition : un parallélogramme est un quadrilatère dont les supports des côtés opposés sont parallèles.

Propriétés :

1)      les côtés opposés d’un parallélogramme ont même longueur

2)      les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu

3)      un parallélogramme admet un centre de symétrie : le point de concours de ses diagonales

4)      les angles opposés d’un parallélogramme sont égaux

5)      les angles consécutifs d’un parallélogramme sont supplémentaires

 

 

                          Propriétés caractéristiques du parallélogramme :

1)      si les diagonales d’un quadrilatère ont même milieu, alors c’est un parallélogramme

2)      si les côtés opposés d’un quadrilatère ont même longueur, alors c’est un parallélogramme

3)      si un quadrilatère admet un centre de symétrie, alors c’est un parallélogramme

4)      si dans un quadrilatère non croisé, deux côtés opposés ont même longueur et des supports parallèles, alors c’est un parallélogramme.

• Losange

définition : un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés ont la même longueur.

Propriétés : le losange a évidemment toutes les propriétés du parallélogramme.

1)      les supports des côtés opposés d’un losange sont parallèles

2)      les diagonales d’un losange ont même milieu et sont perpendiculaires

3)      les diagonales d’un losange sont médiatrices l’une de l’autre

4)      les diagonales d’un losange sont bissectrices de ses angles

5)      les angles opposés d’un losange sont égaux

6)      les angles consécutifs d’un losange sont supplémentaires

7)      un losange admet un centre de symétrie : le point de concours de ses diagonales

8)      un losange admet deux axes de symétrie : les supports cde ses diagonales

                          Propriétés caractéristiques du losange :

1)      si les diagonales d’un quadrilatère ont même milieu et sont perpendiculaires, alors c’est un losange

2)      si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur, alors c’est losange

• Rectangle

définition : un rectangle est un quadrilatère qui a trois angles droits.

Propriétés : le rectangle a toutes les propriétés du parallélogramme.

1)      les quatre angles d’un rectangle sont droits

2)      les supports des côtés opposés d’un rectangle sont parallèles

3)      les côtés opposés d’un rectangle ont même longueur

4)      les diagonales d’un rectangle se coupent en leur milieu et ont même longueur

5)      le point de concours des diagonales d’un rectangle est son centre de symétrie ; c’est le centre de son cercle circonscrit

6)      un rectangle admet deux axes de symétrie : les médiatrices de ses côtés

 

                          Propriétés caractéristiques du rectangle :

1)      si les diagonales d’un quadrilatère se coupent en leur milieu et ont même longueur, alors c’est un rectangle

2)      si un parallélogramme a un angle droit, alors c’est un rectangle

 

• Carré

définition 1 : un carré est un rectangle dont deux côtés consécutifs ont même longueur.

Propriétés : le carré a évidemment toutes les propriétés du rectangle, plus celles du losange.

1)      les quatre angles d’un carré sont droits

2)      les quatre côtés d’un carré ont même longueur

3)      les supports des côtés opposés d’un carré sont parallèles

4)      les diagonales d’un carré se coupent en leur milieu, ont même longueur et sont perpendiculaires

5)      les diagonales d’un carré sont médiatrices l’une de l’autre

6)      les diagonales d’un carré sont bissectrices de ses angles

7)      le point de concours des diagonales d’un carré est son centre de symétrie, c’est le centre de son cercle circonscrit

8)      un carré admet quatre axes de symétrie : ses diagonales et les médiatrices de ses côtés.

                           Propriétés caractéristiques du carré :

1)      si les diagonales d’un quadrilatère se coupent en leur milieu, ont même longueur et sont perpendiculaires, alors c’est un carré

2)      si un losange a un angle droit, alors c’est un carré

 

• Aire du parallélogramme :

L’aire d’un parallélogramme est égal au produit de la longueur d’un côté par la hauteur correspondante. ( on appelle hauteur dans un parallélogramme, la distance entre deux côtés opposés)

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1. Quelques théorèmes généraux

• le théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égale à la somme des carrés des longueurs des côtés de l’angle droit.

Réciproque : si dans un triangle, le carré de la longueur d’un côté est égale à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors c’est un triangle rectangle.

• le théorème de Thalès

Soient un triangle ABC et  une droite (d) parallèle à (BC) qui coupe les droites (AB) et (AC) respectivement en M et N, alors :  .

Réciproque : soient un triangle ABC et une droite (d) qui coupe les droites (AB) et (AC) respectivement en M et N, si on a l’égalité :  et si les points A , M , et B sont alignés dans le même ordre que les points A , N et C, alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.

Remarque : la réciproque du théorème de Thalès sert à démontrer que des droites sont parallèles.

 

• Le théorème de milieux    (déjà énoncé plus haut)
• Le théorème de l’angle inscrit    (déjà énoncé plus haut)

 

1. Les transformations   (vous avez le cours sur votre cahier).