SYSTEMES DYNAMIQUES ( THEORIE QUALITATIVE DES )

Inaugurée par Poincaré la théorie qualitative des systèmes dynamiques est l'étude des caractéristiques globales des trajectoires dans l'espace des états (espace de phase). Il s'agit non pas tant de la détermination précise des trajectoires mais de leur classification selon des caractéristiques morphologiques. On s'intéresse d'ailleurs souvent au comportement d'ensemble de trajectoires voisines (flot de phase), pour lesquelles dans le cas d'un système sans dissipation(système hamiltonien) on peut démontrer le théorème de Liouville : le flot de phase conserve le volume. Comme ce flot de phase évoque un liquide qui coulerait selon les trajectoires, ceci signifie que l'espace de phase en tant que liquide s'écoule au cours du mouvement en se déformant mais sans se comprimer ni se dilater nulle part. Le problème mathématique général est dans la description du type possible de trajectoires. Le principe le plus simple d'une telle description consiste à classer les trajectoires en trajectoires périodiques ou fermées et en trajectoires non périodiques. Les trajectoires périodiques sont considérées comme les mouvements les plus « réguliers », tels les mouvements des planètes autour du soleil ou le balancement du pendule. Si une trajectoire est non périodique, elle peut être quasi-périodique, c.a.d. que bien que la trajectoire ne soit pas fermée, au bout d'un certain temps( la quasi-période) elle se rapproche d'une partie déjà parcourue de la trajectoire ; On peut aussi s'intéresser au degré d'occupation de l'espace de phase par les trajectoires. On dit qu'une trajectoire est partout dense si elle ne laisse aucun espace vide, c .a. qu'il n'existe aucun domaine si petit soit il qu'elle ne traverse jamais (sauf si le domaine est de mesure nulle réduit à un point). Une trajectoire périodique ne peut être partout dense. Il existe des propriétés plus fortes que d'être partout dense, comme l'équidistribution et la propriété générale d'ergodicité qui joue un rôle important en mathématique, en mécanique et en physique statistique. L'ergodicité signifie que la trajectoire séjourne dans un domaine mesurable durant un temps proportionnel au volume de ce domaine. Si ceci est vrai pour une trajectoire typique on dit que le système est ergodique. L'ergodicité peut en fait s'exprimer comme le fait que lors du mouvement un volume de l'espace de phase se déforme sans jamais reprendre sa forme initiale. Dans un système ergodique les trajectoires remplissent l'espace de manière partout dense et uniformément. Un petit volume de phase occupe successivement tout l'espace en restant peu déformé, comme toujours corrélé à lui même. Un système ergodique présente une propriété fondamentale, le théorème de Birkhoff-Khinchin : la « moyenne temporelle » le long d'une trajectoire d'une fonction sur l'espace de phase est égale à la « moyenne spatiale » prise sur un ensemble de trajectoires. Cette propriété est utilisée lors de l'étude de toute une série de modèles de 320 la physique mathématique contemporaine. Pendant longtemps, à partir de la fin du siècle dernier il y a eu une hypothèse due à Boltzmann selon laquelle toutes les lois de la physique statistique pourraient être déduites du théorème ergodique. Il est aujourd'hui clair que cela n'est pas vrai, et que l'on doit au moins invoquer des propriétés plus fortes de stochasticité comme le mélange. Les points d'une trajectoire ergodique ne sont pas des ensembles aléatoires ou pseudo aléatoires, mais des ensembles quasi-aléatoires suffisants pour des simulacres de Monte-Carlo. Le mélange est une propriété plus forte que l'ergodicité. Il implique que la trajectoire est ergodique et « perd la mémoire » de son déroulement. La fonction d'auto corrélation temporelle tend vers zéro lorsque le temps tend vers l'infini. La trajectoire devient une fonction pseudo-aléatoire. C'est la propriété minimale assurant un degré de stochasticité suffisant pour la vérification de propriétés statistiques, c.a.d. assurant l'applicabilité des lois de la théorie des probabilités, par l'apparition de la propriété d'indépendance. En effet la propriété de mélange implique que la mesure de l'intersection d'un ensemble en mouvement avec un ensemble fixe tend vers le produit des mesures. Un petit volume de phase se déforme au point d'occuper finalement tout l'espace, tout comme une goutte d'encre dans l'eau finit par colorer tout le liquide, d'où le nom de mélange, exprimant la décorrélation avec le volume initial. On peut définir des propriétés de mélange encore plus forte où l'indépendance concerne de plus en plus d'évènements. Enfin une propriété encore plus forte, la propriété K (Kolmogorov) apparaît lorsqu'il y a « presque » indépendance entre le présent et tout ce qui peut se produire dans un futur lointain. Ces manifestations de plus en plus forte de la propriété d'indépendance a pour effet de soumettre encore plus l'évolution des systèmes correspondants aux lois de la théorie des probabilités. Un des résultats historiques de la théorie qualitative des systèmes dynamiques a été la démonstration par le mathématicien russe Sinaï (1970) de la propriété K pour la boule d'un billard plan à bords incurvés vers l'intérieur. Cette démonstration très délicate a fait admettre définitivement les propriétés de mélange comme responsables de l'apparition du « chaos déterministe ». Parmi les autres propriétés intéressantes des trajectoires dans l'espace de phase notons l'existence d'attracteurs et la stabilité structurelle.