VARIATIONNELS ( PRINCIPES )

Source: http://www.peiresc.org/DINER/Lexique.pdf

Toute théorie s'exprime en fin de compte par des conditions locales imposées aux phénomènes sous forme d'équations différentielles qui les déterminent totalement. C'est cette détermination qui permet de remplacer la description locale par une description globale sous la forme d'un principe d'extrêmisation, dit principe variationnel, où une fonction spécifiquement définie atteint son minimum ou son maximum. Ces principes formulés au XVIII°siècle, en particulier le principe de moindre action de Maupertuis, dans une atmosphère métaphysique, ont pu laisser croire à un rétablissement de la finalité dans une simple transformation mathématique où la détermination totale ne laisse aucune place à ce concept. Il n'en est rien. La formulation d'une théorie à l'aide d'un principe variationnel présente de nombreux avantages. En particulier cette formulation explicite les invariances de la théorie, car l'extremum d'une fonction scalaire ne dépend pas des coordonnées dans lesquelles la quantité est mesurée. En particulier dans le cas de la mécanique un principe variationnel formule une propriété que réalise la trajectoire réelle du mouvement sous l'influence des forces réelles et la distingue des autres trajectoires cinématiquement possibles. Les principes variationnels de la mécanique s'expriment sous une forme facilement transposable à d'autres domaines de la physique, ce qui en constitue l'importance considérable pour la physique théorique. L'avantage de la formulation de la mécanique à l'aide d'un principe variationnel au lieu des équations du mouvement est l'exclusion à priori de toutes les réactions inconnues des liaisons du système. Un principe variationnel exprime que pour le mouvement réel une certaine fonction des caractéristiques cinématiques et dynamiques du système possède un extremum (minimum ou maximum). Différents principes variationnels se distinguent par la nature de cette fonction. D'une manière générale les principes variationnels s'expriment comme un principe de moindre action à condition de définir chaque fois ce que l'on nomme action. Dans la théorie de Hamilton on compare des mouvements s'effectuant dans des temps égaux selon une action qui est l'intégrale par rapport au temps de la différence entre l'énergie cinétique et l'énergie potentielle du système, la fonction de Lagrange ou lagrangien., Dans la théorie de Maupertuis-Lagrange, on compare les mouvements d'un système conservatif avec la même énergie cinétique initiale, selon une action qui est l'intégrale par rapport au temps du double de l'énergie cinétique du système, La formulation d'une théorie à l'aide d'un principe variationnel, de par son caractère global, a pour effet de gommer le rôle du temps, faisant ressortir encore plus en mécanique classique la symétrie de la théorie par rapport au paramètre temps.. Cela a pour conséquence les difficultés non surmontées de formulation de la thermodynamique, siège des processus irréversibles, à l'aide de principes variationnels.