ordre (relation d').

ordre (relation d'). MATHÉMATIQUES : relation permettant « d'ordonner » les éléments d'un ensemble. Précisément, une relation d'ordre dans E est une relation souvent notée £ et possédant les propriétés suivantes : - elle est réflexive : a £ a ; - elle est antisymétrique : si a £ b et b £ a,alors b = a ; - elle est transitive : si a £ b et b £ c,alors a £ c. La notation « a £ b » se lit « a est inférieur ou égal à b » et équivaut à « b >= a », qui se lit « b est supérieur ou égal à a ». Ordre dans les ensembles de nombres. Dans #, a £ b si et seulement si b est un successeur de a. Dans les ensembles de nombres q, t, u, la relation d'ordre classique est définie par l'existence d'une partie de ces ensembles qualifiée de « positive ». On a alors a £ b si et seulement si b - a est positif. Dans ces ensembles, la relation d'ordre £ est totale, c'est-à-dire que, deux nombres a et b étant donnés, l'une des deux relations est vraie : a £ b ou b £ a. D'autre part, la relation d'ordre dans u en fait un « corps ordonné ». Cela signifie que les opérations présentent une certaine compatibilité avec la relation d'ordre. Précisément, pour l'addition : si a £ b, alors, pour tout nombre c : a + c £ b + c. Et pour la multiplication : si a £ b, alors, pour tout nombre c positif : a × c £ b × c. Il faut prendre garde au fait que l'ordre de a et b n'est conservé après multiplication par c que lorsque c est positif : la multiplication par un nombre négatif inverse le sens des inégalités ! En revanche, il n'est pas possible de munir l'ensemble r des nombres complexes d'une structure d'ordre compatible avec l'addition ; r n'est donc pas (du tout) un corps ordonné. L'inclusion des ensembles. Dans l'ensemble des parties d'un ensemble, la relation d'inclusion, notée Ì , est une relation d'ordre. Cependant, cette relation est partielle ; en effet, étant donné deux parties, l'une des deux n'est pas forcément incluse dans l'autre. Cette circonstance donne à l'ensemble des parties une structure de « treillis », dont on voit un exemple dans la figure ci-dessous. Voir inclusion. La divisibilité. Dans l'ensemble # des entiers, la divisibilité d'un nombre par un autre définit une relation d'ordre partielle. Ainsi, on peut noter : 3/12 (lire « 3 divise 12 »). La figure montre le treillis des diviseurs de 60. En fait, la relation de divisibilité est très apparentée à la relation d'inclusion ; on le comprend en remarquant que la divisibilité d'un nombre a par un nombre b se traduit exactement par le fait que la liste des facteurs premiers de b est contenue dans la liste des facteurs premiers de a . Cette parenté de structure peut s'avérer très significative dans certaines situations de codage. Voir plus grand commun diviseur et plus petit commun multiple. Complétez votre recherche en consultant : Les corrélats antisymétrique (relation) ensembles (théorie des) inclusion - 2.MATHÉMATIQUES inégalité plus grand commun diviseur (PGCD) plus petit commun multiple (PPCM) réflexive (relation) structure algébrique total (ordre)