continuité et limites
Publié le 11/04/2014
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MODULE 1 TS CONTINUITE & LIMITES A. CONTINUITE Fonction continue en un point : Cf a La fonction f est discontinue au point d'abscisse a. Pour que f soit continue au point d'abscisse a, il faut que l'on ait : lim f(x) = lim f(x) = f(a) x->a xa (limite à gauche) (limite à droite) Toutes les fonctions usuelles étudiées jusqu'alors, ainsi que les sommes, produits, quotients, composées de ces fonctions usuelles constituent des fonctions continues sur leur ensemble de définition. Théorème de la valeur intermédiaire : Si f continue et strictement monotone sur [a, b], f prend une fois et une seule toute valeur entre f(a) et f(b). f(b) f croissante, c ? [f(a) ; f(b)] c f(a) a ? b f(a) f décroissante, c ? [f(b) ; f(a)] c f(b) a b ? Pour tout c ? [f(a) ; f(b)] ou [f(b) ; f(a)], il existe un antécédent unique appartenant à [a ; b] tel que f(?) = c. Ce théorème s'étend au cas d'un intervalle non borné : Si f est continue et strictement monotone sur ]a ; b[, f prend une fois et une seule toute valeur comprise entre lim f(x) et lim f(x) x->a x->b Cas général : théorème des valeurs intermédiaires : f est continue sur un intervalle I, a et b sont deux réels de I, pour tout k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c compris entre a et b et tel que f(c) = k B. LIMITES I. Limite d'une fonction à l'infini : 1) Limite infinie : Définition : soit f une fonction numérique définie sur un intervalle de type [a ; + ? [, avec a ? R ; si f tend vers des valeurs très grandes dès que x tend vers de très grandes valeurs on dit que f a pour limite + ? en + ? . Notation : on écrit lim f(x) = + ? x ->+? Fonctions de référence : lim x = + ? lim x = - ? x ->+? x ->-? lim x² = + ? lim x² = + ? x ->+? lim x ->+? x ->-? lim x3 = - ? x = +? x ->-? 2) Limite finie : Définition : soit f une fonction numérique définie sur un intervalle de type [a ; + ? [, avec a ? R et l ? R. Si la distance f(x) - l est aussi petite que l'on veut dès que x est assez grand, on dit que f a pour limite l en + ? . Notation : on écrit lim f(x) = l x ->+? 1 =0 lim x ->-? x 1 lim = 0 lim x ->+? x² x ->-? 1 1 lim 3 = 0 lim 3 = 0 lim x ->+? x x ->-? x x ->+? Asymptote horizontale : si lim f(x) = l (ou lim f(x) = l') Fonctions de référence : lim x ->+? x ->+? 1 =0 x 1 =0 x² 1 =0 x x ->-? On dit que la droite d'équation y = l (respectivement y = l') est asymptote horizontale en + ? (ou en - ? ) à la courbe C représentative de la fonction f. y=l y = l' II. Limite d'une fonction en a, avec a réel : 1) Limite d'une fonction en zéro a) Limite infinie : Définition : soit f une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert en 0 de la forme [b ; 0[ ? ]0 ; c] Si f(x) devient très grand dès que x est assez proche de 0, on dit que f a pour limite + ? en 0. Notation : on écrit lim f(x) = + ? x->0 0 Fonctions de référence : lim x->0 1 = +? x lim x->0 x>0 1 = -? x x<0 1 lim = +? x->0 x² lim x>0 x>0 lim x->0 1 = +? x3 x>0 x->0 lim x->0 1 = +? x 1 = -? x3 x<0 b) Limite finie : Définition : soit f une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert en 0 du type de la forme [b ; 0[ ? ]0 ; c] et soit un réel l. Si la distance f(x) - lest aussi petite que possible dès que x est assez proche de 0, on dit que f a pour limite l en 0. Notation : on écrit lim f(x) = l x->0 lim x = 0 lim x3 = 0 lim x² = 0 Fonctions de référence : lim x->0 x->0 x->0 x->0 x=0 2) Limite d'une fonction en a ? R Définition : soit f une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert en a du type de la forme [b ; a[ ? ]a ; c] La limite de la fonction f en a, si elle existe, est égale à la limite quand h tend vers 0, de la fonction f(a + h) lim f(x) = lim f(a + h) x->a h->0 Asymptote verticale : On dit que la droite d'équation x = a est asymptote verticale à la courbe C représentative de la fonction f si la fonction f admet une limite infinie quand x tend vers a. 0 0 0 x=a x=a lim f(x) = + ? x=a lim f(x) = - ? x->a lim f(x) = - ? x->a x->a x>a lim f(x) = + ? x->a x0 +? l x l' + ? l' l>0 -? -? l<0 +? -? l<0 -? +? +? +? +? +? -? -? -? -? +? 0 + ? ou - ? On applique en pratique la règle des signes, sauf le produit ? x 0 qui est indéterminé. fi 3) Limite d'un quotient de deux fonctions f et g : a) si la fonction g au dénominateur a une limite non nulle si f a pour limite si g a pour limite alors, f / g a pour limite l l' +? l ?0 +? l / l' ou - ? l' > 0 +? 0 +? l' < 0 -? -? l' > 0 -? -? l' < 0 + ? ou - ? + ? ou - ? +? fi b) si la fonction g au dénominateur a une limite nulle si f a pour limite alors, f / g a pour limite l>0 l<0 l<0 0 0 0 0 0 0 g>0 si g a pour limite l>0 g<0 g>0 g<0 0 +? -? -? +? fi 0 ? On applique en pratique la règle des signes, seuls les quotients ? ou amènent à des 0 formes indéterminées. 4) Limite d'une fonction composée : Chacune des lettres a, b ou c désigne soit un réel, soit + ? , soit - ? f, g, h sont trois fonctions telles que f = g h si lim h(x) = b et lim g(X) = c x->a alors lim g [h(x)] = c X->b x->a Exemples : f : x -> 2x + 1, f est composée de h(x) = 2x + 1 et de g(x) = x et lim 2x + 1 = + ? lim X = + ? x ->+? x ->+? par composition, lim f(x) = + ? x ->+? 5) Théorème de comparaison : 1) Encadrement par deux fonctions de limite nulle (Théorème des gendarmes) L désigne un réel. Si : o Pour tout x de l'intervalle ] ? ; + ? [ u(x) <= f(x) - L <= v(x) o lim u(x) = 0 et lim v(x) = 0 x ->+? x ->+? alors lim f(x) = L x ->+? De la même façon, si l'on minore f(x) - L par u(x) f(x) - L <= u(x) o Pour tout x de l'intervalle ] ? ; + ? [ o lim u(x) = 0 x ->+? alors lim f(x) = L x ->+? Exemple : f est une fonction telle que pour tout x > 0 1 1 1 1 < f(x) + 1 < comme lim = lim =0 2x x x ->+? x x ->+? 2x alors lim f(x) = -1 x ->+? 2) Minoration par une fonction h avec lim h(x) = + ? x ->+? Si pour tout x ? ] ? ; + ? [ f(x) >= h(x) et lim h(x) = + ? x ->+? Alors, lim f(x) = + ? x ->+? Exemple : x4 + 1 >= x² + 1 alors lim x ->+? x4 + x4 d'où x4 + 1 >= x² x² + 1 et lim x² = + ? x ->+? 1 =+ ? x² + 1 3) Majoration par une fonction h avec lim h(x) = - ? x ->+? Si pour tout x ? ] ? ; + ? [ f(x) <= h(x) et lim h(x) = - ? x ->+? Alors, lim f(x) = - ? x ->+? IV. Limite à l'infini des fonctions polynômes ou rationnelles : ? Pour lever les indéterminations de la forme (+ ? ) + (- ? ) ou sous la forme ? , on factorise constante les termes de plus haut degré pour faire apparaître des formes = 0 , P ? N* lim x ->+? xp ou x -> - ? Exemples : 21 1) lim x3 - 2x² + 1 = lim x3 (1 - + 3 ) = + ? x ->+? x ->+? xx 2 1 avec, lim = lim 3 = 0 x ->+? x x ->+? x 2) x² + 2 = lim lim x ->+? 3x² + x x ->+? avec, lim x ->+? 2 =0 x² 2 ) x² 1 = 3 1 x² (3 + ) x 1 lim = 0 x ->+? x x² (1 + On généralise cette méthode en appliquant le théorème : La limite d'une fonction polynôme en + ? (ou en - ? ) est celle de son monôme de plus haut degré. La limite d'une fonction rationnelle en + ? (ou en - ? ) est celle du quotient des monômes de plus haut degré. Nous aurions ainsi : lim x3 - 2x² + 1 = lim x3 = + ? x ->+? lim x ->+? x ->+? x² + 2 x² 1 = lim = 3x² + x x->+? 3x² 3 V. Asymptotes : a) Asymptote horizontale : Si la limite de f en + ? (ou - ? ) est un nombre a alors la droite d'équation y = a est asymptote horizontale à la courbe C représentant f en + ? (ou en - ? ). b) Asymptote verticale : Si la limite de f en un nombre a est infini alors la droite d'équation x = a est asymptote verticale à la courbe C représentant f. c) Asymptote oblique : S'il existe a et b tels que la limite en + ? (ou - ? ) de l'expression : lim f(x) - (ax + b) = 0 x ->+? x -> -? alors la droite d'équation y = ax + b est asymptote oblique à la courbe C représentant f en + ? (ou en - ? ). Exemple : f(x) = 2x - 1 + 1 x+1 1 lim f(x) - (2x - 1) = lim x + 1 = 0 x ->+?
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B.
LIMITES
I.
Limite d’une fonction à l’infini :
1) Limite infinie :
Définition : soit f une fonction numérique définie sur un int ervalle de type
[a ; +
∞ [, avec a ∈ R ; si f tend vers des valeurs très grandes dès que x
tend vers de très grandes valeurs on dit que f a po ur limite +
∞ en + ∞ .
Notation : on écrit
limx→ +∞ f(x) = + ∞
Fonctions de référence :
limx→ +∞ x = + ∞ limx→ −∞ x = - ∞
limx→ +∞ x² = + ∞ limx→ −∞ x² = + ∞
limx→ +∞ x = + ∞ limx→ −∞ x3 = - ∞
2) Limite finie :
Définition : soit f une fonction numérique définie sur un interv alle de type
[a ; +
∞ [, avec a ∈ R et l ∈ R.
Si la distance
| |f(x) – l est aussi petite que l’on veut dès que x est assez
grand, on dit que f a pour limite l en +
∞ .
Notation : on écrit
limx→ +∞ f(x) = l
Fonctions de référence : limx→ +∞
1 x = 0 limx→ −∞ 1 x = 0
limx→ +∞
1
x² = 0 limx→ −∞ 1
x² = 0
limx→ +∞
1
x3 = 0 limx→ −∞ 1
x3 = 0 limx→ +∞
1
x = 0
Asymptote horizontale : si limx→ +∞ f(x) = l (ou limx→ −∞ f(x) = l’)
On dit que la droite d’équation y = l (respectiveme nt y = l’) est asymptote
horizontale en +
∞ (ou en - ∞ ) à la courbe C représentative de la fonction f.
y = l
y = l’ .
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