math fonctions devoir

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désigne par fn la fonction définie sur R par : fn (x) = xn e-x . On note Cn sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O ; i, j ) du plan. Partie A Sur le graphique ci-dessous, on a représenté une courbe Ck où k est un entier naturel non nul, sa tangente Tk au point d'abscisse 1 et la courbe C3 . 4 La droite Tk coupe l'axe des abscisses au point A de coordonnées ;0 . 5 1. a) Déterminer les limites de la fonction f1 en -? et en +?. 112 Sujet 1 b) Étudier les variations de la fonction f1 et dresser le tableau de variations de f1 . c) À l'aide du graphique, justifier que k est un entier supérieur ou égal à 2. 2. a) Démontrer que pour n 1, toutes les courbes Cn passent par le point O et un autre point dont on donnera les coordonnées. b) Vérifier que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, et pour tout réel x : fn (x) = xn-1 (n - x)e-x . 3. Sur le graphique, la fonction f3 semble admettre un maximum atteint pour x = 3. Valider cette conjecture à l'aide d'une démonstration. 4. a) Démontrer que la droite Tk coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées k-2 ;0 . k-1 b) En déduire, à l'aide des données de l'énoncé, la valeur de l'entier k. Partie B On désigne par (In ) la suite définie pour tout entier n supérieur ou égal à 1 par 1 xn e-x dx. In = 0 1. Calculer I1 . 2. Dans cette question, toute trace de recherche ou d'initiative, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation. Sur le graphique ci-dessous, on a représenté les portions des courbes C1 , C2 , C3 , C10 , C20 et C30 comprises dans la bande définie par 0 x 1. 113 Analyse a) Formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite (In ) en décrivant sa démarche. b) Démontrer cette conjecture. c) En déduire que la suite (In ) est convergente. d) Déterminer lim In . n->+? CORRIGÉ Partie A 1. Pour tout réel x, on a f1 (x) = xe-x . a) Lorsque x -> -?, on a e-x -> +?. Donc lim f1 (x) = -?. x->-? 114 Sujet 1 x ex = +?, d'où lim x = 0. x->+? e x->+? x Donc lim f1 (x) = 0. On sait que lim x->+? b) La fonction f 1 est dérivable sur R comme produit de fonctions dérivables. f 1 est de la forme uv , sa dérivée f 1 sera de la forme u v + uv , avec pour tout réel x : u(x) = x d'où u (x) = 1, et v (x) = e-x d'où v (x) = -e-x . Donc f1 (x) = 1 × e-x + x × (-e-x ) = (1 - x)e-x . c) D'après l'énoncé, on sait que k est un nombre entier non nul. On a vu à la question 1. a) que lim f1 (x) = 0. x->+? D'après le graphique de l'énoncé lim fk (x) = 0. x->+? Donc k est un entier supérieur ou égal à 2. 2. a) Pour tout entier n non nul on a : fn (0) = 0n e-0 = 0 fn (1) = 1n e-1 = e-1 Donc toutes les courbes Cn passent par le point O et le point de coordonnées (1 ; e-1 ). b) Pour tout entier n supérieur ou égal à 2, la fonction f n est dérivable sur R comme produit de fonctions dérivables. f n est de la forme uv , sa dérivée f x: u(x) = xn d'où u (x) = nxn-1 . n sera de la forme u v + uv , avec pour tout réel 115 Analyse v (x) = e-x d'où v (x) = -e-x . Donc fn (x) = nxn-1 × e-x + xn × (-e-x ), d'où fn (x) = xn-1 (n - x)e-x . 3. En utilisant le résultat de la question précédente, on a : f3 (x) = x2 (3 - x)e-x . La fonction f3 s'annule en changeant de signe uniquement pour x = 3, lorsque x > 3, elle est négative et pour x < 3 elle est positive. Donc la fonction f 3 atteint son maximum lorsque x = 3. 4. a) Par définition, l'équation de la tangente T k au point d'abscisse 1 est : y = fk (1)(x - 1) + fk (1). 1 On a fk (1) = e-1 = , e k-1 et fk (1) = 1k-1 (k - 1)e-1 = . e L'équation de la tangente T k au point d'abscisse 1 est donc : k-1 1 y=