Sujet : Comment les mathématiques, qui sont pourtant un produit de la pensée indépendant de l'expérience, rendent-elles compte si excellement de la réalité ?

Extrait du corrigé : C'est donc au moins une question qui exige encore un examen plus approfondi et que l'on ne saurait résoudre du premier coup d'oeil, que celle de savoir s'il y a une connaissance de ce genre, indépendante de l'expérience et même de toutes les impressions des sens. De telles connaissances sont appelées a priori et on les distingue des empiriques qui ont leur source a posteriori, à savoir dans l'expérience. (...) Si l'on veut un exemple pris dans les sciences, on n'a qu'à parcourir des yeux toutes les propositions de la mathématique ; et si on en veut un tiré de l'usage plus ordinaire de l'entendement, on peut prendre la proposition : « tout changement doit avoir une cause ». Qui plus est, dans cette dernière, le concept même d'une cause renferme manifestement le concept d'une liaison nécessaire avec un effet et celui de la stricte universalité de la règle, si bien que ce concept de cause serait entièrement perdu, si on devait le dériver, comme le fait Hume, d'une association fréquente de ce qui arrive avec ce qui précède et d'une habitude qui en résulte (d'une nécessité, par conséquent, simplement subjective) de lier des représentations. On pourrait aussi, sans qu'il soit besoin de pareils exemples pour prouver la réalité des principes purs a priori dans notre connaissance, montrer que ces principes sont indispensables pour que l'expérience même soit possible, et en exposer, par suite, la nécessité a priori. D'où l'expérience, en effet, pourrait-elle tirer sa certitude, si toutes les règles, suivant lesquelles elle procède, n'étaient jamais qu'empiriques, et par là même contingentes? On remarquera que, quoique l'énoncé postule que les mathématiques sont « un produit indépendant de l'expérience », un tel postulat peut être remis en question, la conception empirique des mathématiques soutenant que celles-ci ne sont nullement indépendantes de l'expérience.Introduction■ Un constat : Contrairement aux autres savants, au physicien, au chimiste, au biologiste, etc., les mathématiciens ne se préoccupent pas, dans l'exercice de leur science, de la réalité physique, du monde concret : les mathématiciens ne se préoccupent même pas de savoir si les « êtres mathématiques » sur lesquels ils travaillent existent réellement, certains d'entre eux (les « formalistes ») admettant même que ces êtres mathématiques n'existent pas, en ce sens qu'ils seraient vides de tout contenu, qu'ils se réduiraient à de purs symboles.