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les fonction numérique

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Aperçu du corrigé : les fonction numérique



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Publié le : 12/2/2013 -Format: Document en format HTML protégé

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les fonction numérique
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Fonctions Numériques
Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako

A- / Ensemble de définition d'une fonction :
1- / Définition :
Soit f : A ? B une fonction. On appelle ensemble de définition Df de f,
l'ensemble des éléments x de A qui ont une image dans B.
2- / Exemples :
Déterminer l'ensemble de définition Df de chacune des fonctions définies par.
a) f ( x) = 3x2 + 4x - 9 ; b) f ( x) =

x-4
x +1
; c) f ( x ) =
;
x-5
x - 7x + 6
2

d) f ( x) = - x 2 + 3x - 2 .
B- / Limites :
I- / Approche graphique :
La fonction f est donnée par sa courbe représentative ci-dessous.

1-/ Déterminer l'ensemble de définition Df de f.
2-/ Trouver lim+ f ( x) ; lim- f ( x) ; lim f ( x) ;
x ->0

Cours Fonctions Numériques

x->0

x -> -?

Page 1 sur 13

lim f ( x)

x -> +?

Adama Traoré Professeur Lycée Technique

II-/ Calcul de limites :
1-/ Limites obtenues directement ou par transformation de l'expression :
a/ Fonctions Polynômes :
o Théorème 1 : À l'infini toute fonction polynôme a même limite que son
monôme de plus haut degré.
o Exemples : Calculer les limites suivantes
lim - x 3 + 2 x 2 - 5 x + 9 ;

lim - 5 x 3 - 3x 2 + x + 4 ;

x->-?

x -> +?

lim 7 x 4 - 5 x 3 + 4 x 2 - 8 x + 1

x -> -?

b/ Fonctions Rationnelles :
o Théorème 2 : À l'infini toute expression se présentant sous la forme
d'une fraction a même limite que le rapport des monômes de plus haut
degré du numérateur et du dénominateur.
o Exemples : Calculer les limites suivantes
3x 3 - 5 x 2 + 6 x - 7
lim
x->-?
4 x 2 - 5x + 2

- 5x 2 + 7 x - 8
; lim
x -> +?
x 2 + 9x - 7

x3 - 8
lim
x->2 x - 2

;

x 3 + x 2 + 2x - 4
lim 3
x ->1 x + 2 x 2 - 5x + 2

;

c/ Fonctions Irrationnelles :
Déterminer les ensembles de définition de chacune des fonctions puis
calculer les limites suivantes.
f ( x) =

*

f ( x) =

3- x+8
x -1

x2 + 2
;
3x - 6

3- x +8
;
x ->1
x -1

;

x2 + 2
3x - 6

lim

x -> -?

(

lim 3 x + 1 - x 2 + 3 x + 2

x -> +?

**

lim

;

)

(

x2 + 2
; lim 3 x + 1 - x 2 + 3 x + 2 ;
x -> -?
3x - 6

lim

x -> +?

)

d-/ Fonctions Trigonométriques :
Retenons que pour x très voisin de zéro on a : sinx = x d'où
lim

x->0

sin x
= 1;
x

pour a ? 0 lim

x->0

sin ax
=1 ;
ax

lim

x->0

tan x
1 - cos x 1
= 1 ; lim
=
x->0
x
2
x2

; lim

x->0

1 - cos x
=0
x

Exercices : Calculer les limites suivantes
sin ? x
? tan x - sin x ?
lim ?
;
? ; pour ? ? 0 et ? ? 0 lim
3
x -> 0?
x ->0 ? x
x
?

sin ? x
x -> 0 sin ? x
lim

1 - 2 cos x
?
x -> 1 - 2 sin x

; lim

4

2-/ Limites obtenues par changement de variables :
Exemple : lim
?
x->

6

2 sin x - 1

2 cos x - 3

; en posant x -

?

6

= u on obtient Rép = - 3

3-/ Limites obtenues par encadrement :
a) Si f(x) <= g(x) et lim f ( x) = +? alors lim g ( x) = +? .
x -> +?

x->+?

b) Si f(x) <= g(x) et lim g ( x) = -? alors lim f ( x) = -? .
x -> -?

Cours Fonctions Numériques

x->-?

Page 2 sur 13

Adama Traoré Professeur Lycée Technique

c) Exemple :
Soit f : x a f ( x) = x + 3 cos x .
Pour tout réel x on a : x - 3 <= f ( x) <= x + 3 .
o x - 3 <= f ( x) ; lim ( x - 3) <= lim f ( x) = -? => lim f ( x) = -? ;
x -> -?

o

f ( x) <= x + 3 ;

x->-?

x->-?

lim f ( x) <= lim ( x + 3) = +? => lim f ( x) = +? ...


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