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Aperçu du corrigé : Second degres



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Document transmis par : ghitab-178441


Publié le : 16/9/2012 -Format: Document en format HTML protégé

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FONCTIONS POLYNOMES ET SECOND DEGRE
I. Fonctions polynômes
1. Définition
|1. On appelle fonction polynôme ou polynôme de degré n, [pic], toute fonction |
|définie sur [pic], dont l'écriture peut se mettre sous la forme : |
|x ) a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a1 x + a0 où a0 , a1 , ... , an sont n + 1 |
|réels et an ? 0. |
|2. Le terme ap xp s'appelle monôme de degré p. On note n = deg(P), le degré du |
|polynôme. |
|3. Deux polynômes non nuls sont égaux si, et seulement si, ils ont le même degré et |
|si les coefficients de leurs termes de même degré sont égaux. |


Exemples :
- La fonction x ) 0 est la fonction polynôme nulle .
- Les polynômes de degré 0 : x ) k sont les fonctions constantes,
- Les polynômes de degré 1 : x ) a x + b , a ? 0, sont les fonction
affines.
- Pour tout réel x, [pic] équivaut à : [pic].

Remarques :
- La fonction f définie par [pic] peut s'écrire après simplification :
[pic] ; c'est donc une fonction polynôme de degré 2
- La fonction g définie par [pic] peut s'écrire après simplification :
[pic] ; ce n'est pourtant pas une fonction polynôme car elle n'est pas
définie sur [pic].

2. Racine d'un polynôme et factorisation d'un polynôme
a. Définition
On appelle racine d'une fonction polynôme P tout nombre a vérifiant : P(a)
= 0.

Exemples :
Les racines de la fonction polynôme P définie sur [pic] par : P(x) = (x -
1)(x+2) sont 1 et -2.

Remarque :
Certaines fonctions polynômes n'ont aucune racine réelle. Par exemple
[pic] qui est strictement positif.

b. Théorème admis
Si une fonction polynôme P à coefficients réels de degré n (n ? 1) a une
racine réelle x = a, alors on peut
factoriser P(x) par (x - a) , on a : P(x) = (x - a) Q(x) où Q est une
fonction polynôme de degré n - 1.

Exemples :
[pic], [pic].

c. Méthode de la division
Si a est une racine du polynôme P, on effectue la division euclidienne de
P(x) par (x - a) pour obtenir Q(x).

Exercice 1 :
Soit [pic]. Montrer que 2 est une racine de P. Factoriser le polynôme P&l...


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