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Publié le : 16/10/2013 -Format: Document en format HTML protégé

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Correction Bac, série S
Commun à tous les candidats
juin 2011

Exercice no 1

4 points

Dans un pays, il y a 2% de la population contaminée par un virus.

PARTIE A
On dispose d'un test de dépistage de ce virus qui a les propriétés suivantes :
o La probabilité qu'une personne contaminée ait un test positif est de 0, 99 (sensibilité du test).
o La probabilité qu'une personne non contaminée ait un test négatif est de 0, 97 (spécificité du
test).
On fait passer un test à une personne choisie au hasard dans cette population.
On note V l'événement « la personne est contaminée par le virus « et T l'événement « le test est
positif «.
V et T désignent respectivement les événements contraires de V et T.
1.

a) Valeurs des probabilités : p (V) = 0, 02, p V (T) = 0, 99 et p V (T) = 0, 97.
Arbre de probabilité.
0, 99

T

0, 01

T

0, 03

T

0, 97

T

V

0, 02

0, 98

V

b) Probabilité de l'événement V ? T :
p (V ? T) = p V (T) × p (V) = 0, 99 × 0, 02 = 0, 0198
2. Probabilité que le test soit positif est :
p (T) = p (V ? T) + p (V ? T) = p V (T) × p (V) + p V (T) × p (V) = 0, 99 × 0, 02 + 0, 03 × 0, 98 = 0, 0492

1

3.

a) « Si le test est positif, il n'y a qu'environ 40% de « chances « que la personne soit contaminée «correspond à la probabilité p T (V) 0, 40. Vérifions :
p T (V) =

p (V ? T) 0, 0198
=
p (T)
0, 0492

0, 40243902439

0, 40

b) Probabilité p T (V) qu'une personne ne soit pas contaminée par le virus sachant que son
test est négatif.
p T (V) =

p (T ? V)
p (T)

=

p V (T) × p (V)
p (T)

=

p V (T) × p (V)
1 - p (T)

=

0, 97 × 0, 98
1 - 0, 0492

0, 9998

PARTIE B
On choisit successivement 10 personnes de la population au hasard, on considère que les tirages
sont indépendants.
On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes contaminées par le virus
parmi ces 10 personnes.
1. X suit une loi binomiale car
o Il n'y a que deux issues : soit V, soit V ;
o les tirages sont indépendants ;
o p = 0, 02
o n = 10
2. Probabilité qu'il y ait au moins deux personnes contaminées parmi les 10 :
p (X

2) = 1 - p (X = 0) - p (X = 1) = 1 -

0
1
0, 020 × 0, 9810 -
0, 021 × 0, 989
10
10

Exercice no 2

0, 016

4 points

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct (O ; u ; v ).
On désigne par A, B, C, D les points d'affixes respectives z A = 1, z B = i, z C = -1, z C = -i.
?
1. Affixe de l'image E du point D par la rotation de centre A et d'angle :
3
Écriture de la rotation :
?

?

z - z A = ei 3 (z - z A ) <==> z = ei 3 (z - z A ) + z A =

3
1
(z - 1) + 1
+i
2
2

L'affixe de E est donc :
zE =

1
3
1
31
3
1+ 3
+i
(-i - 1) + 1 = - i +
- -i
+1 =
(1 - i)
2
2
2
2
2
2
2

2. L'ensemble des points M d'affixe z telle que |z + i| = |z - 1| vérifie :
|z + i| = |z - 1| <==> MD = MA <==> M ? médiatrice de [AD]
: Or, d'après la configuration donnée, c'est aussi la médiatrice du segment [BC].

2

3. L'ensemble des points d'affixe z telle que
z +i
?i
z +1

C <==> arg

z +i
soit un imaginaire pur vérifie :
z +1

Z

z +i
?
--> -->
--
= MC; MD = +k ? (k ? ) <==> M ? (cercle de diamètre [CD] - {C})
z +1
2

4. L'ensemble des points d'affixe z telle que arg(z - i ) = -

?
+ 2k ? où k ?
2

Z vérifie :

Z

?
-
- -->
arg(z - i) = ->; BM = - + 2k ? (k ? ) <==> M ? ]BD)
u
2

Exercice no 3

7 points

Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on désigne par f n la fonction définie sur

R par :

f n ( x ) = x n e- x .
On note C n sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O ; ? ; ? ) du plan.

PARTIE A
Sur le graphique ci-dessous, on a représenté une courbe C k où k est un entier naturel non nul, sa
tangente Tk au point d'abscisse 1 et la courbe C 3 ·
4
La droite Tk coupe l'axe des abscisses au point A de coordonnées
;0 .
5
y

Ck
Tk

?

?

x

A

C3

3

1.

a) Limites de la fonction f 1 en -? et en +? :
1
1
= -?, car lim x = -? et lim x = +?
x
x ->-?
x ->-? e
e
x
ex
lim f 1 (x ) = lim x = 0, car lim
= +?
x ->+?
x ->+? e
x ->+? x
lim f 1 (x ) = lim x ×

x ->-?

x ->-?

b) Variations de la fonction f 1 :
f 1 (x ) =

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