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Aperçu du corrigé : Cours nombres complexes



Document transmis par : Wegela -305419


Publié le : 24/4/2019 -Format: Document en format HTML protégé

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Cours nombres complexes
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=

3

5. |z| = 0 si et seulement si z = 0.

Proposition 3.5
Soit z un nombre complexe, alors
1. | Re(z)| ≤ |z|;
2. | Im(z)| ≤ |z|;
3. Si | Re(z)| = |z| alors z ∈ R ;
4. Si | Im(z)| = |z| alors z ∈ iR.

Proposition 3.6 inégalité triangulaire
Soit z et z 0 deux nombres complexes, alors :


Chapitre 1

Nombres complexes
1.1
1.1.1

Ensemble C des nombres complexes
Généralités

Définition 1.1
L’ensemble des nombres de la forme a + ib où a et b sont des nombres réels et i désigne un nombre imaginaire tel
que i2 = −1 est appelé l’ensemble des nombres complexes et on le note C.
On définit une addition et une multiplication sur C de la manière suivante :
si z = a + ib et z 0 = a0 + ib0 sont deux nombres complexes, alors :
— z + z 0 = (a + ib) + (a0 + ib0 ) = (a + a0 ) + i(b + b0 ) ;
— zz 0 = (a + ib) × (a0 + ib0 ) = (aa0 − bb0 ) + i(ab0 + ba0 ) ;
Remarque. Tout nombre réel a peut s’écrire a = a + i.0, donc tout nombre réel est en particulier un nombre complexe.
On le note : R ⊂ C.
Proposition 1.2
Si z est un nombre complexe, l’écriture z = a + ib avec a et b réels est unique.
Définition 1.3
Soit z = a + ib un nombre complexe. Cette écriture est appelée écriture algébrique de z.
— Le nombre réel a est appelé partie réelle de z et on écrit : Re(z) = a.
— Le nombre réel b est appelé partie imaginaire de z et on écrit : Im(z) = b.
Quant a est nul, le nombre complexe z s’écrit z = bi et on dit que z est un imaginaire pur. On le note : z ∈ iR.
Proposition 1.4
Soit z = a + ib et z 0 = a0 + ib0 deux nombres complexes,
1. Nombre complexe nul :
a + ib = 0

⇐⇒

a = 0 et

b=0

Un nombre complexe est nul si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulles.
2. Égalité :

a + ib = a0 + ib0

⇐⇒

a = a0

et

b = b0

Deux nombres complexes sont égaux si et seulement s’ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire.
3. Caractérisation d’un nombre réel :
z∈R

⇐⇒

1

Im(z) = 0

Un nombre complexe est réel si et seulement sa partie imaginaire est nulle.
4. Caractérisation d’un nombre im...
   z| − |z 0

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