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algébrique - Définition.

Publié le : 18/10/2013 Format: Document en format PDF protégé


algébrique - Définition.
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Problematiquealgébrique - Définition. adj., relatif à l'algèbre. Cet adjectif qualifie plutôt des objets sur
lesquels on peut effectuer des calculs relevant de l'algèbre, au sens classique du mot ; les
calculs algébriques sont ainsi des calculs sur des nombres ou des polynômes, dans lesquels
interviennent des questions d'égalité, de changement de variables, de signes, d'inverses, de
mise en facteurs, de réduction d'écriture ou de développement, etc.

Courbe algébrique.
Une courbe algébrique plane est l'ensemble des points du plan dont les coordonnées (x, y)
vérifient une équation de la forme P (x, y) = 0, où P est un polynôme. Le degré de P est le
degré de la courbe. Les courbes algébriques de degré 1 s'appellent des droites ; celles de
degré 2, des coniques ; celles de degré 3, des cubiques ; celles de degré 4, des quartiques.
Ce fut Fermat qui, vers 1640, mit véritablement en évidence l'importance d'une
propriété algébrique « caractéristique « des points d'une courbe (déjà utilisée par
Descartes peu avant, et certainement par Appolonios de Perga [ou Apollonius de Perge]
vers 200 avant J.-C.). Au siècle suivant, Euler et Bézout entreprirent une classification des
courbes algébriques (que Plücker affinera au XIXe siècle) et étudièrent leurs intersections
deux à deux : deux courbes algébriques de degré n et p se coupent en n × p points, à

condition de compter chacun d'eux avec son « ordre de multiplicité « (un point de
tangence compte pour deux, un point d'osculation compte pour trois...). La géométrie
algébrique étudie aujourd'hui les courbes, surfaces et variétés algébriques dans un cadre
étendu d'une part aux coordonnées complexes, d'autre part aux espaces projectifs (c'està-dire aux espaces euclidiens auxquels on a adjoint des points dits « à l'infini «).

Mesure algébrique.
Sur une droite graduée, la mesure algébrique d'un bipoint est la différence des abscisses de
ces deux points (précisément l'abscisse de l'extrémité du bipoint moins l'abscisse de son
origine). Si a et b sont les abscisses des points A et B, alors la mesure algébrique du bipoint
(A, B) est :
Étant donnés trois points alignés A, B, C, on a alors, quelles que
soient les positions relatives de ces points, la relation de Chasles (1848) :

Aujourd'hui, on préfère écrire des relations entre vecteurs
plus
générales et plus faciles à manipuler que des relations entre mesures algébriques.

Nombre algébrique.
Un nombre réel ou complexe est dit algébrique lorsqu'il est racine d'une équation de la
forme :
P(x) = anXn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0 = 0
où les coefficients ai du polynôme P sont des nombres entiers, an étant différent de 0. Un
nombre non algébrique est dit transcendant.
Par exemple, O est un nombre algébrique, puisqu'il vérifie l'équation x2 - 2 = 0. Tous
les nombres rationnels sont algébriques, puisqu'ils vérifient une équation du premier degré.
Le degré d'un nombre algébrique est le degré du polynôme irréductible à coefficients
entiers dont il est racine. Par exemple,

est un nombre algébrique de degré 2,

puisqu'il est racine du polynôme irréductible x2 + x + 1 = 0.
Si a est un nombre algébrique de degré n, alors, avec les notations ci-dessus, on a : an =
(an-1an-1 + ... + a2a2 + a1a + a0)/an et les puissances de a engendrent un espace
vectoriel de dimension n, sur le corps t des nombres rationnels ; cet espace est aussi un
sur-corps de t appelé extension algébrique de degré n engendrée par a. L'étude de suites
finies d'extensions algébriques de t, connue sous le nom de théorie de Galois, a permis de
démontrer l'impossibilité de résoudre par radicaux des équations du cinquième degré. Voir
équation.
Les nombres algébriques forment un sous-corps du corps des nombres complexes.
Lorsqu'un nombre algébrique est racine d'un polynôme à coefficients entiers dont le
coefficient du terme de plus haut degré vaut 1, on dit que ce nombre est un entier
algébrique. L'ensemble des entiers algébriques forme un anneau.



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