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Les coniques

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Publié le : 4/4/2017 Format: Document en format PDF protégé


Les coniques
x

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Les coniques




Problematique

Les coniques
?


?


Le plan euclidien P est rapporté à un repère orthonormal (O; i , j )
1-)

a-)

1
Déterminer une équation cartésienne de la parabole de foyer F? , 2? et de directrice D: x = 3.
? ?
?2 ?
––––––––––––––––
On appelle (P) cette parabole.
2
(x – 3)2
1
M(x, y)∈(P) ⇔ MF2 = d(M, D)2 ⇔ ? – x? + (2 – y)2 = 2
?2 ?
1 + 02
?
?
1
M(x, y)∈(P) ⇔
– x + x2 + 4 – 4y + y2 = x2 – 6x + 9
4
Une équation cartésienne de (P) est donc:

4y2 + 20x – 16y – 19 = 0 .

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
1-)

b-)

Déterminer une équation cartésienne de la conique d\'excentricité 5, de foyer F(3, 2)
et de directrice associée d\'équation y = 1.
––––––––––––––––
L\'excentricité est supérieure à 1 donc il s\'agit d\'une hyperbole (H).
(y – 1)2
M(x, y)∈(H) ⇔ MF2 = 25×d(M, D)2 ⇔ (x – 3)2 + (y – 2)2 = 2
0 + 12
2
2
2
M(x, y)∈(H) ⇔ x – 6x + 9 + y – 4y + 4 = y – 2y + 1
Une équation cartésienne de (H) est donc:

x2 – 6x – 2y + 12 = 0 .

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
1-)

c-)

?


Déterminer une équation cartésienne de l\'ellipse tangente à (O, i )
de sommets principaux A(5, 1) et A\'(1, 1).
––––––––––––––––
Géométriquement, le point de contact de l\'ellipse (E)
?

avec (O, i ) est B(3, 0) et le centre de l\'ellipse est ?(3, 1).
AA\'
Par suite, a =
= 2 et b = ?B = 1.
2
X2
?
→ ?

Dans le repère (?, i , j ), (E) a pour équation
+ Y2 = 1.
4
?X=x–3
?
→ ?

Quand on revient dans le repère (O, i , j ), ? Y = y – 1 ce qui donne (x – 3)2 + 4(y – 1)2 = 4.
?
Une équation cartésienne de (E) est donc: x2 + 4y2 – 6x – 8y + 9 = 0 .

Corrigés des exercices sur les coniques --*-- Page 1

1-)

d-)

Déterminer une équation cartésienne de la parabole (P) de foyer F(1, 2) et de directrice D
dans les cas suivants:
α-) D = (AB) avec A(0, 1) et B(3, 0)
β-) D: 2x – 3y + 5 = 0
γ-) D passe par O et est orthogonale à D\': 2x – y + 3 = 0
––––––––––––––––
Rappel:
Si D a pour équation cartésienne ax + by + c = 0
|ax + bx + c|
alors d(A, D) = A 2 B 2
a +b
α-)

??→

D = (A, AB) donc M(x, y)∈D ⇔

x 3
y – 1 -1 = 0 ⇔ x + 3y – 3 = 0.

(x + 3y – 3)2
= (x – 1)2 + (y – 2)2
10
M∈(P) ⇔ x2 + 9y2 + 9 + 6xy – 6x – 18y = 10x2 – 20x + 10 + 10y2 – 40y + 40
M∈(P) ⇔ 9x2 – 6xy + y2 – 14x – 22y + 41 = 0
M∈(P) ⇔

β-)

γ-)

(2x – 3y + 5)2
= (x – 1)2 + (y – 2)2
13
M∈(P) ⇔ 4x2 + 9y2 + 25 – 12xy + 20x – 30y = 13x2 – 26x + 13 + 13y3 – 52y + 52
M∈(P) ⇔ 9x2 + 12xy + 4y2 – 46x – 22y + 40 = 0
M∈(P) ⇔

?


u(1, 2) est un vecteur directeur de D\' donc un vecteur normal à D.
Par suite, D a une équation cartésienne de la forme 1x + 2y + k = 0.
Comme O(0, 0)∈D, D a pour équation cartésienne x + 2y = 0.
(x + 2y)2
M∈(P) ⇔
= (x – 1)2 + (y – 2)2
5
M∈(P) ⇔ x2 + 4xy + 4y2 = 5x2 – 10x + 5 + 5y2 – 20y + 20
...



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