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continuité et limites

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Aperçu du corrigé : continuité et limites



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Publié le : 11/4/2014 -Format: Document en format HTML protégé

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continuité et limites
x

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continuité et limites




MODULE 1

TS
CONTINUITE & LIMITES

A. CONTINUITE
Fonction continue en un point :
Cf

a

La fonction f est discontinue au point d'abscisse a.
Pour que f soit continue au point d'abscisse a, il faut que l'on ait :
lim f(x)

= lim f(x) = f(a)

x->a

x
x>a

(limite à gauche)

(limite à droite)

Toutes les fonctions usuelles étudiées jusqu'alors, ainsi que les sommes, produits,
quotients, composées de ces fonctions usuelles constituent des fonctions continues sur leur
ensemble de définition.
Théorème de la valeur intermédiaire :
Si f continue et strictement monotone sur [a, b], f prend une fois et une seule toute valeur
entre f(a) et f(b).
f(b)

f croissante, c ? [f(a) ; f(b)]

c
f(a)
a

?

b

f(a)

f décroissante, c ? [f(b) ; f(a)]

c
f(b)
a

b

?

Pour tout c ? [f(a) ; f(b)] ou [f(b) ; f(a)], il existe un antécédent unique appartenant à [a ; b]
tel que f(?) = c.
Ce théorème s'étend au cas d'un intervalle non borné :
Si f est continue et strictement monotone sur ]a ; b[, f prend une fois et une seule toute valeur
comprise entre lim f(x) et lim f(x)
x->a

x->b

Cas général : théorème des valeurs intermédiaires :
f est continue sur un intervalle I, a et b sont deux réels de I, pour tout k compris entre f(a) et
f(b), il existe au moins un réel c compris entre a et b et tel que f(c) = k

B. LIMITES
I. Limite d'une fonction à l'infini :
1) Limite infinie :
Définition : soit f une fonction numérique définie sur un intervalle de type
[a ; + ? [, avec a ? R ; si f tend vers des valeurs très grandes dès que x
tend vers de très grandes valeurs on dit que f a pour limite + ? en + ? .
Notation : on écrit lim f(x) = + ?
x ->+?

Fonctions de référence : lim x = + ?

lim x = - ?

x ->+?

x ->-?

lim x² = + ?

lim x² = + ?

x ->+?

lim

x ->+?

x ->-?

lim x3 = - ?

x = +?

x ->-?

2) Limite finie :
Définition : soit f une fonction numérique définie sur un intervalle de type
[a ; + ? [, avec a ? R et l ? R.
Si la distance |f(x) - l| est aussi petite que l'on veut dès que x est assez
grand, on dit que f a pour limite l en + ? .
Notation : on écrit lim f(x) = l
x ->+?

1
=0
lim
x ->-?
x
1
lim = 0
lim
x ->+? x²
x ->-?
1
1
lim 3 = 0
lim 3 = 0
lim
x ->+? x
x ->-? x
x ->+?
Asymptote horizontale : si lim f(x) = l (ou lim f(x) = l')

Fonctions de référence : lim

x ->+?

x ->+?

1
=0
x
1
=0

1
=0
x

x ->-?

On dit que la droite d'équation y = l (respectivement y = l') est asymptote
horizontale en + ? (ou en - ? ) à la courbe C représentative de la fonction f.

y=l

y = l'

II. Limite d'une fonction en a, avec a réel :
1) Limite d'une fonction en zéro
a) Limite infinie :
Définition : soit f une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert en 0 de
la forme [b ; 0[ ? ]0 ; c]
Si f(x) devient très grand dès que
x est assez proche de 0, on dit que
f a pour limite + ? en 0.
Notation : on écrit lim f(x) = + ?
x->0

0

Fonctions de référence : lim
x->0

1
= +?
x

lim
x->0

x>0

1
= -?
x

x<0

1
lim
= +?
x->0 x²

lim

x>0

x>0

lim
x->0

1
= +?
x3

x>0

x->0

lim
x->0

1
= +?
x
1
= -?
x3

x<0

b) Limite finie :
Définition : soit f une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert en 0
du type de la forme [b ; 0[ ? ]0 ; c] et soit un réel l.
Si la distance |f(x) - l|est aussi petite que possible dès que x est assez proche de 0, on dit que f
a pour limite l en 0.

Notation : on écrit lim f(x) = l
x->0

lim x = 0

lim x3 = 0

lim x² = 0

Fonctions de référence :

lim

x->0
x->0

x->0
x->0

x=0

2) Limite d'une fonction en a ? R
Définition : soit f une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert en a du
type de la forme [b ; a[ ? ]a ; c]
La limite de la fonction f en a, si elle existe, est égale à la limite quand h tend vers
0, de la fonction f(a + h)
lim f(x) = lim f(a + h)
x->a

h->0

Asymptote verticale :
On dit que la droite d'équation x = a est asymptote verticale à la courbe C
représentative de la fonction f si la fonction f admet une limite infinie quand x tend
vers a.

0

0

0

x=a

x=a

lim f(x) = + ?

x=a

lim f(x) = - ?

x->a

lim f(x) = - ?

x->a

x->a

x>a
lim f(x) = + ?
x->a

x III. Opérations sur les limites :
C et g désignent deux fonctions définies sur un même intervalle I. a désigne soit un réel,
soit + ? ou - ?
1) Limite d'une somme de deux fonctions f et g :
l et l' sont deux réels, en un point a réel, en + ? et en - ?
si f a pour limite

l

si g a pour limite

l

l

+?
l + l' + ?

-?
-?

l'

alors, f + g a pour limite

+?
+?
+?

-?
-?
-?

+?
-?
fi

On fait en pratique la « somme des limites », seul le cas + ? - ? est une forme indéterminé.
2) Limite d'un produit de deux fonctions f et g :
l et l' sont deux réels, en un point a réel, en + ? et en - ?
si f a pour limite
si g a pour limite
alors, f x g a pour limite

l

l>0

+?
l x l' + ?
l'

l>0

-?
-?

l<0

+?
-?

l<0

-?
+?

+?
+?
+?

+?
-?
-?

-?
-?
+?

0

+ ? ou - ?

On applique en pratique la règle des signes, sauf le produit ? x 0 qui est indéterminé.

fi

3) Limite d'un quotient de deux fonctions f et g :
a) si la fonction g au dénominateur a une limite non nulle
si f a pour limite
si g a pour limite
alors, f / g a pour limite

l
l'

+?

l

?0

+?

l / l'

ou - ?

l' > 0

+?

0

+?
l' < 0

-?

-?
l' > 0

-?

-?
l' < 0

+ ? ou - ?
+ ? ou - ?

+?

fi

b) si la fonction g au dénominateur a une limite nulle
si f a pour limite

alors, f / g a pour limite

l>0

l<0

l<0

0

0

0

0

0

0

g>0

si g a pour limite

l>0

g<0

g>0

g<0

0

+?

-?

-?

+?

fi

0
?
On applique en pratique la règle des signes, seuls les quotients ? ou amènent à des
0
formes indéterminées.
4) Limite d'une fonction composée :
Chacune des lettres a, b ou c désigne soit un réel, soit + ? , soit - ?
f, g, h sont trois fonctions telles que f = g h
si lim h(x) = b
et
lim g(X) = c
x->a

alors lim g [h(x)] = c

X->b

x->a

Exemples :
f : x -> 2x + 1, f est composée de h(x) = 2x + 1 et de g(x) = x
et
lim 2x + 1 = + ?
lim X = + ?
x ->+?

x ->+?

par composition, lim f(x) = + ?
x ->+?

5) Théorème de comparaison :
1) Encadrement par deux fonctions de limite nulle (Théorème des gendarmes)
L désigne un réel. Si :
o Pour tout x de l'intervalle ] ? ; + ? [
u(x) <= f(x) - L <= v(x)
o lim u(x) = 0
et
lim v(x) = 0
x ->+?

x ->+?

alors lim f(x) = L
x ->+?

De la même façon, si l'on minore |f(x) - L| par u(x)
|f(x) - L| <= u(x)
o Pour tout x de l'intervalle ] ? ; + ? [

o

lim u(x) = 0

x ->+?

alors lim f(x) = L
x ->+?

Exemple :
f est une fonction telle que pour tout x > 0
1
1
1
1
< f(x) + 1 <
comme lim = lim
=0
2x
x
x ->+? x
x ->+? 2x
alors lim f(x) = -1
x ->+?

2) Minoration par une fonction h avec lim h(x) = + ?
x ->+?

Si pour tout x ? ] ? ; + ? [

f(x) >= h(x)

et

lim h(x) = + ?

x ->+?

Alors, lim f(x) = + ?
x ->+?

Exemple :
x4 +

1
>=
x² + 1

alors lim

x ->+?

x4 +

x4

d'où

x4 +

1
>= x²
x² + 1

et

lim x² = + ?

x ->+?

1
=+ ?
x² + 1

3) Majoration par une fonction h avec lim h(x) = - ?
x ->+?

Si pour tout x ? ] ? ; + ? [

f(x) <= h(x)

et

lim h(x) = - ?

x ->+?

Alors, lim f(x) = - ?
x ->+?

IV. Limite à l'infini des fonctions polynômes ou rationnelles :
?
Pour lever les indéterminations de la forme (+ ? ) + (- ? ) ou sous la forme ? , on factorise
constante
les termes de plus haut degré pour faire apparaître des formes
= 0 , P ? N*
lim
x ->+?
xp
ou x -> - ?
Exemples :
21
1)
lim x3 - 2x² + 1 = lim x3 (1 - + 3 ) = + ?
x ->+?
x ->+?
xx
2
1
avec, lim = lim 3 = 0
x ->+? x
x ->+? x

2)

x² + 2
= lim
lim
x ->+? 3x² + x
x ->+?
avec, lim

x ->+?

2
=0


2
)
x² 1
=
3
1
x² (3 + )
x
1
lim = 0
x ->+? x

x² (1 +

On généralise cette méthode en appliquant le théorème :
La limite d'une fonction polynôme en + ? (ou en - ? ) est celle de son monôme de plus haut
degré.
La limite d'une fonction rationnelle en + ? (ou en - ? ) est celle du quotient des monômes de
plus haut degré.

Nous aurions ainsi :
lim x3 - 2x² + 1 = lim x3 = + ?
x ->+?

lim

x ->+?

x ->+?

x² + 2
x² 1
= lim
=
3x² + x x->+? 3x² 3

V. Asymptotes :
a) Asymptote horizontale :
Si la limite de f en + ? (ou - ? ) est un nombre a alors la droite d'équation y = a est
asymptote horizontale à la courbe C représentant f en + ? (ou en - ? ).
b) Asymptote verticale :
Si la limite de f en un nombre a est infini alors la droite d'équation x = a est asymptote verticale à
la courbe C représentant f.

c) Asymptote oblique :
S'il existe a et b tels que la limite en + ? (ou - ? ) de l'expression :
lim f(x) - (ax + b) = 0
x ->+?
x -> -?

alors la droite d'équation y = ax + b est asymptote oblique à la courbe C représentant f en + ? (ou
en - ? ).
Exemple : f(x) = 2x - 1 +

1
x+1

1
lim f(x) - (2x - 1) = lim x + 1 = 0
x ->+?



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