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Correction devoir Bac Terminale S MAthematiqeu

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Correction devoir Bac Terminale S MAthematiqeu

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Aperçu du corrigé : Correction devoir Bac Terminale S MAthematiqeu



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Document transmis par : dreat-225049


Publié le : 22/12/2013 -Format: Document en format HTML protégé

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Correction devoir Bac Terminale S MAthematiqeu
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TS. Contrôle 7 - Correction
E X 1 : ( 7 points ) Le but de l'exercice est démontrer que l'équation (E) : ex =
et de construire une suite qui converge vers cette unique solution.
I. Existence et unicité de la solution. On note f la fonction définie sur

1
admet une unique solution dans
x

R par :

R

f ( x ) = x - e- x .

1. Démontrer que x est solution de l'équation (E) si et seulement si f (x ) = 0.
1
(E ) : ex = <==> x ex = 1 <==> x = e-x <==> x - e-x = 0 <==> f (x ) = 0
x
2. Étude du signe de la fonction f .
a. Étudier le sens de variations de la fonction f sur

R.

R

fonction

dérivée

eU
e- x

f est dérivable sur et pour tout réel x , f (x ) = 1 + e-x .
Or pour tout réel x , e-x > 0 donc f (x ) > 1 > 0.
Ainsi la fonction f est strictement croissante sur

U × eU
-e-x

R

b. En déduire que l'équation (E) possède une unique solution sur

R, notée ? , et que ? ?
lim f (x ) = -? et

x

x ->-?

1
2

-?

?

f (x )

1

+?

-?

-0, 1

0

x ->+?

D'après le tableau des variations de f ,
l'équation (E) possède une unique solution sur
, notée ?
o f 1 ? -0, 1
à 10-1 près par excès.
2
o f (1) ? 0, 6
à 10-1 près par défaut.
1
ainsi
?1
2

R

+

f (x )

1
;1 .
2
lim f (x ) = +?

0, 6

+?

c. Étudier le signe de f sur l'intervalle [0 ; ?].
Si x ? [0 ; ?] alors f (0) f (x )
Ainsi f est négative sur [0 ; ?].

f (?) donc -1

f (x )

0

car f (?) = 0

II. Deuxième approche. On note g la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 1] par : g (x ) =

1+x
1 + ex

1. Démontrer que l'équation f (x ) = 0 est équivalente à l'équation g (x ) = x.
Pour x = 0 g (x ) = x <==>

1+x
1
= x <==&g...


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