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Méthodologie

Aperçu du corrigé : Maths



Publié le : 3/5/2016 -Format: Document en format HTML protégé

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Maths
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1
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C
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Introduction
à la statistique descriptive
Les méthodes de la statistique descriptive (statistique déductive) permettent de mener
des études à partir de données exhaustives, c’est-à-dire concernant tous les individus de
la population concernée par l’étude. Comme le rappelle André Vessereau (voir bibliographie), l’idée première et toujours fondamentale de la statistique descriptive est celle de
dénombrement.
Quand les données ne concernent qu’un échantillon de la population, comme dans le cas
des sondages, on a recours à la statistique inférentielle (statistique inductive), qui utilise la
théorie des probabilités.
Globalement, la statistique reste très liée à la science du hasard, puisque les recensements
nous fournissent des fréquences d’apparition auxquelles on fait jouer le même rôle qu’à la
probabilité. Déjà, les manuscrits de Gottfried Leibniz, rédigés au début des années 1680, se
situaient, à partir des travaux de John Graunt, dans la perspective d’une « synthèse entre
science de la population et calcul des probabilités ».

Ce premier chapitre présente les principales clés de lecture de la statistique. La terminologie usuelle y est exposée, ainsi que la forme et le contenu des tableaux de données.
Deux annexes, proposées en fin de chapitre, sont consacrées à la prise en main d’Excel
(annexe 1.1), ou de tout autre tableur équivalent, et de deux calculatrices graphiques,
Texas Instrument et Casio (annexe 1.2) ou de toute autre calculatrice approchante.
L’utilisation de ces outils facilitera la compréhension et la résolution de tous les exemples
numériques des parties théoriques et des problèmes et exercices qui suivent.

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© 2010 Pearson France – Statistique descriptive, 2e éd. – Étienne Bressoud, Jean-Claude Kahané

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21/10/10 15:54:02

Statistique descriptive

1. Terminologie
T
Comme toute science, la statistique a son vocabulaire, qu’il est primordial de définir de
façon rigoureuse afin d’indiquer le groupe sur lequel porte l’étude, les caractères ou
variables relevés sur chacun des individus et les différents types de caractères.

1.1. La population
Le terme de population statistique est antérieur à la démographie et s’appliquait à l’origine
à des catégories d’humains. Les populations n’étaient en effet pas pensées en bloc, leurs
membres n’étant pas considérés comme égaux. Par exemple, on comptait les hommes en
état de porter des armes, les individus soumis à l’impôt, etc. La démographie est venue plus
tard, avec l’idée d’égalité des individus, qui a mené à la notion de recensement.
En statistique, le terme de population est plus général et peut désigner des humains,
mais aussi des objets, des villes, des pays, des entreprises, des logements, etc., l’essentiel
étant, comme pour la définition d’un ensemble en mathématiques, que l’on puisse dire
clairement de tout élément qu’il appartient ou n’appartient pas à la population.
Les villes européennes de plus de 100 000 habitants, les voitures immatriculées en
France, les départements français d’outre-mer sont autant d’exemples de population.

Définition
La population statistique est l’ensemble des éléments sur lesquels porte l’étude. Les éléments
de la population sont appelés individus statistiques ou unités statistiques. La population constitue l’univers de référence de l’étude. Si la population comporte N individus, on notera Ω = {ω1
… ; ωN}, ωi désignant pour i variant de 1 à N les individus qui la composent. Un échantillon de
taille n est un sous-ensemble formé de n individus de la population (n ≤ N).

La notion d’échantillon est fondamentale, car, en règle générale, la population entière
n’est pas disponible ou observable. Dans ce cas, seul un échantillon est étudié et les
résultats obtenus sont extrapolés à la population (voir P. Roger, chapitre 5). Par exemple,
lorsqu’un magazine souhaite connaître la personnalité préférée des Français, il interroge
seulement un échantillon de Français, généralement 1 000 individus, et non toute la
population résidant en France métropolitaine, soit plus de 60 millions d’individus.

1.2. Notion de caractère ou variable statistique
Chaque individu d’une population peut être décrit relativement à un ou plusieurs caractères ou variables statistiques.

Définition

2

Une variable statistique (on parle aussi de caractère statistique), notée X, est une application
définie sur une population statistique et à valeurs dans un ensemble M, appelé ensemble des
modalités. Les modalités correspondent aux valeurs possibles de la variable statistique. Une
variable statistique définit une partition sur une population, chaque individu appartenant à une
et une seule modalité.
Si le nombre de modalités est noté r, l’ensemble des modalités de la variable X sera noté :
M = {x1 ; x2 ; … ; xr}.

© 2010 Pearson France – Statistique descriptive, 2e éd. – Étienne Bressoud, Jean-Claude Kahané

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21/10/10 15:54:03

Une population statistique

Considérons les données suivantes concernant le nombre de femmes et d’hommes dans la population résidant en France métropolitaine en 2006 (en milliers) :
Femmes

Hommes

31 444

29 722

Source : Insee, recensement de la population, 2007 (champ : France métropolitaine)

La population étudiée est la population résidant en France métropolitaine recensée en 2006 et
la variable étudiée est le sexe. Cette variable peut prendre deux valeurs possibles appelées modalités : féminin ou masculin. Ces modalités sont en général numérotées : si la variable étudiée,
ici le sexe, est notée X, les deux modalités seront respectivement notées x1 (pour féminin) et x2
(pour masculin).

Une des premières opérations de la statistique consiste à recenser le nombre et/ou le
pourcentage d’individus qui présentent une modalité déterminée d’une variable. C’est
ainsi qu’à chaque modalité est associé un effectif et/ou une fréquence.

Chapitre 1 Introduction à la statistique descriptive

Exemple 1.1

Définitions
L’effectif (aussi appelé fréquence absolue) de la modalité xi est noté ni et désigne le nombre
d’individus de la population présentant la modalité xi. L’effectif total de la population n est alors :
r

n = n1 + n2 + … + nr, soit n =

∑n

i

(la somme des ni pour i variant de 1 à r, et la lettre grecque

i=1

sigma, ∑ , désignant la somme).
La fréquence (par défaut fréquence relative) de la modalité xi est notée fi et est définie par :
fi = ni / N ; la fréquence exprime la proportion d’individus présentant une modalité donnée. Elle
peut s’exprimer sous la forme d’un nombre décimal (en général avec une précision de quatre
chiffres après la virgule) ou sous la forme d’un pourcentage.

Propriété
Soit X une variable à r modalités : 0 ≤ fi ≤ 1
r

r

∑ f = 1 (ou, en pourcentage : ∑ f = 100 )
i

i

i=1

i=1

Exemple 1.2

Effectifs et fréquences

Reprenons l’exemple précédent sur le sexe des individus de la population résidant en France
métropolitaine. Les effectifs respectifs de ces modalités sont notés n1 = 31 444 et n2 = 29 722,
avec n = n1 + n2 = 61 166 milliers, effectif total de la population.
Les fréquences sont telles que f1 = n1 / n = 31 444 / 61 166 = 0,5141 et f2 = n2 / N = 29 722 /
61 166 = 0,4859, soit 51,41 % de femmes et 48,59 % d’hommes.

L’exemple 1.1 a mis en évidence une des deux natures des variables statistiques : la variable qualitative. Le sexe est une variable qualitative, car ses modalités ne sont pas des
nombres. Une variable quantitative est une variable dont les modalités sont numériques.
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© 2010 Pearson France – Statistique descriptive, 2e éd. – Étienne Bressoud, Jean-Claude Kahané

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Statistique descriptive

Le poids d’un individu, l’âge, le nombre d’enfants par ménage, le salaire constituent des
exemples de variables quantitatives.

1.3. Les variables qualitatives
Définition
Une variable statistique est dite de nature qualitative si ses modalités ne sont pas mesurables.
Les modalités d’une variable qualitative sont les différentes catégories d’une nomenclature. Ces
catégories doivent être exhaustives (chaque individu est affecté à une modalité) et incompatibles (un individu ne peut être affecté à plusieurs modalités) de façon à créer une partition.

Le sexe, la profession, l’état matrimonial sont quelques exemples de variables qualitatives. Pour ses enquêtes auprès des ménages, l’Insee utilise la nomenclature des Professions
et catégories socioprofessionnelles (PCS-2003).
Les modalités d’une variable qualitative peuvent être classées sur deux types d’échelle :
nominale ou ordinale. À ces deux types d’échelle correspondent deux types de variables
qualitatives.

Variables qualitatives nominales
Les variables qualitatives nominales ne se mesurent pas. Cependant, leurs modalités
peuvent être codées. L’ordre et l’origine de la codification sont arbitraires, cette codification pouvant être numérique, alphabétique ou alphanumérique. Les individus d’une
même catégorie sont réputés « équivalents » pour la variable étudiée.

Définition
Une variable statistique qualitative est dite définie sur une échelle nominale si ses modalités ne
sont pas naturellement ordonnées.

Exemple 1.3

Codage d’une variable qualitative nominale

Le tableau suivant indique les différentes catégories de la variable nominale Professions et catégories socioprofessionnelles (CSP) :
Code

Catégorie

1

Agriculteurs exploitants

2

Artisans, commerçants et chefs d’entreprise

3

Cadres et professions intellectuelles supérieures

4

Professions intermédiaires

5

Employés

6

Ouvriers

7

Retraités

8

Autres personnes sans activité professionnelle

Source : Insee, PCS-2003 (niveau 1 de la nomenclature)

Dans cet exemple, il n’y a pas d’ordre naturel entre les huit catégories, ou modalités, qui sont de
simples étiquettes ; la variable qualitative « CSP » est définie sur une échelle nominale.
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© 2010 Pearson France – Statistique descriptive, 2e éd. – Étienne Bressoud, Jean-Claude Kahané

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21/10/10 15:54:05

Une échelle ordinale suppose l’existence d’une relation d’ordre total entre les catégories,
c’est-à-dire que l’on peut opérer un classement de l’ensemble des catégories, de la plus
petite à la plus grande (ou, inversement, de la plus grande à la plus petite).
Contrairement à ce qui se passe avec une échelle nominale, les expressions telles que
« plus grand que », « précède », « se place après », etc. prennent un sens dans une échelle
ordinale.
La codification peut être numérique, alphabétique ou alphanumérique, en association
avec un sens de lecture. En cas de codage numérique, les opérations mathématiques sont
dénuées de sens et l’écart entre les valeurs ne revêt aucune signification.

Définition
Une variable statistique qualitative est dite définie sur une échelle ordinale si l’ensemble de ses
modalités peut être doté d’une relation d’ordre.

Chapitre 1 Introduction à la statistique descriptive

Variables qualitatives ordinales

1.4. Les variables quantitatives
Toute variable qui n’est pas qualitative ne peut être que quantitative. Les différentes
modalités d’une variable quantitative constituent l’ensemble des valeurs numériques
que peut prendre la variable.

Définition
Une variable statistique est dite de nature quantitative si ses modalités sont mesurables. Les
modalités d’une variable quantitative sont des nombres liés à l’unité choisie, qui doit toujours
être précisée.

Il existe deux types de variables quantitatives : les variables discrètes et les variables
continues.
Ces variables ont en commun des modalités clairement ordonnées, pour lesquelles
l’écart entre les valeurs possède une signification, et sur lesquelles il est possible de réaliser des opérations mathématiques telles que des calculs de moyennes, etc. Néanmoins,
elles ont des propriétés et des traitements spécifiques qui nécessitent une étude
séparée.

Variables quantitatives discrètes
Lorsque les modalités sont des valeurs numériques isolées, comme le nombre d’enfants
par ménage, on parle de variable discrète1.

Définition
Une variable statistique quantitative est dite discrète si l’ensemble de ses modalités est un
ensemble fini ou dénombrable. Ainsi, l’ensemble des modalités peut être donné sous la forme
d’une liste de nombres, M = {x1 ; x2 ; … ; xi ; …}, finie ou infinie.
Le plus souvent, les modalités appartiennent à l’ensemble N des entiers naturels (N = {0 ; 1 ; 2 ; …}).
Cependant, une variable discrète peut prendre des valeurs non entières.
1. Du latin discretus, qui signi?e « séparé » ; dans un ensemble discret, on peut séparer les éléments.

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© 2010 Pearson France – Statistique descriptive, 2e éd. – Étienne Bressoud, Jean-Claude Kahané

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Statistique descriptive

Variables quantitatives continues
Lorsque la variable, par exemple la taille d’un individu, peut prendre toutes les valeurs
d’un intervalle, ces valeurs peuvent alors être regroupées en classes, et on parle dans ce
cas de variable continue.

Définitions
Une variable statistique quantitative est dite continue si l’ensemble de ses modalités n’est pas
dénombrable. Ainsi, une variable continue peut prendre toutes les valeurs d’un intervalle.
Pour étudier une variable statistique continue, on définit des classes ou intervalles de valeurs
possibles. On peut ainsi discrétiser une variable continue (voir section 2.1). Les classes retenues
constituent les modalités de la variable.
On appelle amplitude de la classe [ai ; bi[ le réel noté Ai représentant la longueur de l’intervalle
et défini par : Ai = bi – ai. ai et bi sont respectivement les bornes inférieure et supérieure de la
classe ni.
Le centre de classe de la classe [ai ; bi[ est le réel noté xi représentant le milieu de l’intervalle et
donné par : xi = (ai + bi) / 2 ; c’est la moyenne arithmétique des bornes de la classe.

Le centre de classe est appelé à jouer un grand rôle dans les calculs, car le regroupement
en classes constitue une perte d’information importante ; nous prendrons l’hypothèse
de répartition uniforme à l’intérieur d’une classe, c’est-à-dire de concentration au centre
des classes (voir chapitre 2).

Exemple 1.4

Calculs d’amplitudes et centres de classes

Le tableau suivant indique la structure par âges de la population féminine en France métropolitaine :
Âge

fi (%)

Moins de 15 ans

17,5

15-24 ans

12,3

25-34 ans

12,7

35-44 ans

14,0

45-54 ans

13,6

55-64 ans

11,1

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