Les mathématiques sont-elles une science comme les autres ?

« Il découle du principe de non-contradiction.

On le formule ainsi : « De deux propositions contradictoires, sil'une est vraie, l'autre est nécessairement fausse et réciproquement » ou encore « Entre A et non A, il n'y apas de milieu ».

Autrement dit, deux solutions sont possibles à l'exclusion d'une troisième.

Par exemple, uneplante est verts ou elles ne l'est pas.En mathématiques, le raisonnement par l'absurde établit la vérité d'une proposition en démontrant que laproposition contradictoire est fausse en raison des conséquences contradictoires qu'elle entraîne.On le voit, les principes logiques assurent la cohérence interne de tout discours. Les mathématiques sont donc une science comme les autres. [Les mathématiques n'ont pas d'objet propre.

D'une rigueur absolue, elles ne dépendent pas del'expérience.

En mathématiques, comme en toute autre science, l'on part d'une hypothèse et l'on endéduit des principes.

L'esprit est autant soumis aux objets mathématiques qu'il l'est aux phénomènesnaturels.

Contrairement aux autres sciences, les mathématiques n'étudient pas des objets ayant uneexistence réelle.

D'autre part, les mathématiques n'ont pas besoin de l'appui de l'expérience pour progresser.] Les mathématiques sont la science des sciencesDès Platon, la connaissance des mathématiques est affirmée comme nécessaire au philosophe : dépassantl'univers du sensible, elle constitue un premier pas dans l'univers intellectuel, et rapproche l'esprit de laconnaissance finale — celle des Idées.

Toutefois, Platon caractérise les mathématiques par le recours auraisonnement « hypothétique » (la dianoia) : on s'y appuie sur des « hypothèses » (que l'on peut comprendrecomme l'ensemble des axiomes et postulats fondant un système) qui permettent sans doute d'opérer toutesles déductions possibles, mais ne sont pas en elles-mêmes prouvées.

Or, le stade ultime de la connaissance,où se réalisera l'accès aux vérités les plus hautes, met au contraire en oeuvre une pensée « anhypothétique», qui est davantage de l'ordre d'une intuition intellectuelle que du raisonnement déductif.

Il apparaît ainsi queles vérités mathématiques ne peuvent faire office de modèle que pour des niveaux relativement « inférieurs »de la connaissance ; lorsque celle-ci vise l'Être lui-même, le modèle doit être abandonné.Chez Platon, la vérité la plus ambitieuse est métaphysique, et l'on peut remarquer avec certains logicienscontemporains que s'effectue là une confusion entre vérité et réalité : la connaissance du Vrai nous donneaccès au fondement de ce qui, par-delà l'univers sensible, possède le plus de réalité.

Il n'est pas surprenantque, avec le développement de sciences conquérant leur autonomie relativement à la philosophie etprogressivement capables d'inventer leurs méthodes spécifiques, le point de vue se modifie.Aussi les mathématiques acquièrent-elles un tout autre statut chez Descartes, qui commence par soulignerque leur certitude vient de ce qu'« elles traitent d'un objet assez pur et simple pour n'admettre absolumentrien que l'expérience ait rendu incertain ».

Ce qui, selon lui, ne doit pas nous encourager à nous intéresserexclusivement à l'arithmétique et à la géométrie, mais doit nous amener à reconnaître que « ceux quicherchent le droit chemin de la vérité ne doivent s'occuper d'aucun objet, dont ils ne puissent avoir unecertitude égale à celle des démonstrations » que l'on rencontre en mathématiques.

Dans ce contexte, leraisonnement et la vérité mathématiques servent bien de référence, et désignent le modèle de toutedémarche scientifique.

Spinoza, lorsqu'il rédige son Éthique « à la façon des géomètres », sous-entend que cemodèle pourrait valoir également pour la philosophie, qu'il parvient à concevoir comme un système aussirigoureux qu'un système mathématique : fondé sur des définitions, des axiomes et des postulats, etn'affirmant ensuite que ce qui peut se démontrer déductivement à partir de ces points de départ. La vérité formelleLa force de la déduction vient de ce qu'elle repose sur des principes dont l'esprit décide lui-même,indépendamment de ce dont on parle.

Le syllogisme lui-même, qui constitue le modèle initial de la déduction,nous permet ainsi de garantir la rigueur du raisonnement, même si ce raisonnement porte sur des absurdités :on dit que sa vérité est de nature rigoureusement formelle, pour signaler précisément que le « contenu »intuitif des propositions (ce qu'elles semblent désigner par les mots qui y interviennent) n'y a aucuneimportance.

De ce point de vue, la logique la plus rigoureuse, même dans sa version aristotélicienne, est unelogique qui remplace les mots du vocabulaire ordinaire par de purs symboles, qui n'évoquent plus riend'empirique.

On constate alors sans difficulté que l'élaboration d'une déduction vraie n'a rien de commun avecle sens que pourraient véhiculer des propositions.Les systèmes mathématiques, en raison de leur nature hypothético-déductive, produisent des véritésformelles.

C'est-à-dire des formulations de relations qui ne prennent initialement en charge aucun aspect denos expériences quotidiennes.

Socrate soulignait que, en évoquant « cinq doigts », on pouvait bien percevoirles doigts, mais que le cinq était hors de toute appréhension sensible — et c'est précisément ce qui permetqu'on puisse l'« appliquer » à n'importe quoi (à des doigts aussi bien qu'à des chevaux ou à des amphores : cequ'il nombre n'importe pas).

De même, c'est parce qu'elle est initialement « vide » (sans aucun référent. »