Une démonstration repose-t-elle sur une certitude ?

Dans système logico-déductif, une démonstration est un cheminement méthodique afin de développer et de trouver une vérité. Or pour qu'elle soit concluante, une démonstration doit définir une vérité donc être certaine. En ce sens, on peut comprendre le lien qui unit la vérité et la certitude. La démonstration a pour but de produire une connaissance certaine. Dès lors il semblerait logique que cette certitude soit présente dès les prémisses de la démonstrations. C'est en ce sens que toute démonstration semble devoir reposer sur des axiomes qui sont admis comme juste sans démonstration. Il s'agit de principes premiers. Et c'est bien ce méthode que l'on peut voir à l'oeuvre notamment dans les syllogismes. C'est-à-dire : une chose étant posé, il en suit nécessairement une autre par démonstration. Pourtant, si l'on prend par exemple le cas dans la géométrie d'Euclide du fait que par deux points ne peut passer qu'une seule droite. Cet axiome repose sur une certitude et ne pose pas problème. On peut ainsi produire des démonstrations. Pourtant, Lobatchevski et Riemann, ont montré que ces démonstrations reposaient sur des conventions. De même, une démonstration syllogistique par de principes qui sont premiers et immédiats. Mais bien plus, ils sont alors indémontrables. En ce sens, il s'agit de s'interroger sur la fécondité cognitive et épistémique d'une démonstration ainsi que la valeur de vérité qu'elle peut proposer voire redéfinir le rapport entre la vérité et la certitude.