Les mathématiques sont-elles un langage, un modèle ou un instrument pour les autres sciences ?

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Les mathématiques sont-elles un instrument pour toutes les sciences ?S'il est vrai qu'elles sont la science du calcul, on en conclura qu'elles servent d'instrument à quiconque calcule,c'est-à-dire détermine une quantité par un raisonnement et non par une mesure; mais c'est ce que fait n'importequel caissier aussi bien que le calculateur d'un observatoire.

Si les mathématiques sont un instrument, elles sont uninstrument universel.Cette conception des mathématiques n'est pas sans intérêt; car il faudrait alors dire que les mathématiques n'ontpas d'objet propre, tandis que l'astronomie a les corps célestes, la physique, les lois de la pesanteur, de la lumièreou de l'électricité, la chimie, celle des combinaisons des corps, la biologie, celles de la vie, la linguistique, celles de laphonétique ou de la grammaire.

La quantité n'est pas un objet, c'est, nous l'avons dit, une catégorie del'entendement humain, c'est-à-dire un moyen, pour l'entendement, de saisir quelque objet que ce soit.

La quantitén'est donc pas objet de science, mais elle est la condition d'une certaine technique opératoire, et c'est en quoiconsistent essentiellement les mathématiques.Ce caractère universel de la mathématique apparaît d'ailleurs lorsqu'on reconnaît l'étroite parenté, sinon l'identité,qui existe entre la mathématique et la logique.

Qu'il s'agisse de quantités ou de propositions, on a toujours affaire àdes opérations sur ce qu'on appelle des « ensembles » et à des calculs. Ordonnance de la dissertation.Y a-t-il quelque chose de plus à faire? Et n'avons-nous pas répondu successivement aux trois questions posées?Les mathématiques ne sauraient être appelées proprement un langage, ni au sens strict bien entendu, ni même ausens large.

Elles ne peuvent être un modèle que si nous acceptons de « forcer » les autres sciences de façon àprésenter leurs objets propres sous une forme purement quantitative, auquel cas toutes les sciences sont dessciences mathématiques, ou mieux des parties de l'unique science mathématique.

Plus exactement, elles seraientcela s'il n'y avait pas entre mathématique et physique la différence qui existe entre catégorique et hypothétique,c'est-à-dire entre la construction d'une théorie et son utilisation.

On est donc conduit à considérer lesmathématiques non comme un modèle, mais comme un instrument.Nous sommes ainsi parvenus à une conclusion, et nous y sommes parvenus par une discussion ordonnée, le rejet dechacun des termes proposés conduisant à l'examen du suivant et l'examen du dernier aboutissant à une réponsepositive.Remarquons encore que, pour donner cette réponse, nous avons en somme repris les réponses partielles données àchacune des trois questions; nous avons fait ainsi un résumé.

C'est donc un des cas — assez rares — où on estamené à employer ce procédé, dont nous avons déconseillé l'emploi systématique dans la conclusion d'unedissertation. »