Montrer, est-ce démontrer ?

« Analyse du sujet : Un sujet difficile demandant de bien omettre en évidence la différence entre la simple présentation de quelque chose et le raisonnement analytique (ou éventuellement synthétique) qui en rend compteen vue de convaincre. Conseils pratiques : Interrogez-vous sur les différents types de démonstration que vous connaissez (mathématique, philosophie, etc.).

Demandez-vous pourquoi, dans certains domaines (les Beaux-Arts, par exemple),la démonstration est impossible.

Montrez qu'on ne peut tout démontrer. Difficulté du sujet : * * * Nature du sujet : Pointu. INTRODUCTIONIl arrive que le langage courant confonde,le contact empirique avec les choses avec une démonstration.

Lorsqu'unenfant demande qu'on «lui montre (comment faire ou réussir une manipulation), sans doute est-ce pour apprendrequelque chose, mais cet apprentissage équivaut-il à une démonstration ? I.

EMPIRIQUE ET RATIONNELMontrer renvoie aux sens, en particulier à la vue.

On montre toujours, au moins métaphoriquement, «du doigt»: onreste dans le domaine du concret, de l'empirique.— Au contraire, la démonstration implique:• une référence à la logique stricte;• l'usage de concepts ou de symboles, et non de réalités concrètes. II.

DÉMONSTRATION MATHÉMATIQUE — Insister sur son caractère a priori (indépendant de l'expérience). « Les jugements mathématiques sont tous synthétiques.

Cetteproposition semble avoir échappé jusqu'ici à l'observation de tous ceuxqui ont analysé la raison humaine, et elle paraît même en oppositionavec toutes leurs suppositions ; elle est pourtant incontestablementcertaine, et elle a une grande importance par ses résultats.

En effet,comme on trouvait que les raisonnements des mathématiquesprocédaient tous suivant le principe de contradiction (ainsi que l'exigela nature de toute certitude apodictique), on se persuadait que leursprincipes devaient être connus aussi à l'aide du principe decontradiction, en quoi l'on se trompait ; car si le principe decontradiction peut nous faire admettre une proposition synthétique, cene peut être qu'autant qu'on présuppose une autre propositionsynthétique, d'où elle puisse être tirée, mais en elle-même elle n'ensaurait dériver.Il faut remarquer d'abord que les propositions proprementmathématiques sont toujours des jugements a priori et nonempiriques, puisqu'elles impliquent une nécessité qui ne peut être tiréede l'expérience.

Si l'on conteste cela, je restreindrai alors monassertion aux mathématiques pures, dont la seule idée comportequ'elles ne contiennent point de connaissances empiriques, maisseulement de connaissances pures a priori.

» KANT. D'après la tradition rationaliste antérieure à Kant, les propositions mathématiques ne viennent pas, et ne dépendentpas, de l'expérience car on y considère qu'aucun fait ne peut les corriger.

Kant n'est pas l'initiateur de l'idée que lesmathématiques sont a priori, mais on lui doit d'avoir répandu l'affirmation que les propositions mathématiques sontlogiquement (et non psychologiquement ni chronologiquement) antérieures à l'expérience qui les présuppose.

Pluspersonnelle chez Kant est la raison donnée : à l'origine des mathématiques on trouve les intuitions de l'espace et dutemps, l'intuition de l'espace est à l'origine de la géométrie, celle du temps, à l'origine de l'arithmétique.

Or l'espaceet le temps (c'est bien de l'espace et du temps physiques qu'il s'agit) ne sont pas des êtres naturels indépendantsde l'humanité, mais des formes pures a priori de la sensibilité.

C'est donc le caractère a priori de l'espace et dutemps qui explique le caractère a priori des mathématiques.Conscient du progrès des mathématiques, Kant ne pouvait pas croire que leurs jugements soient des tautologies,des énoncés analytiques, le dédoublement sans fin d'une identité où le prédicat d'une proposition ne fait quedéployer une partie du contenu du sujet.

Les jugements mathématiques sont synthétiques, le prédicat est censéajouter une information concernant le sujet de la proposition, introuvable dans l'analyse de son contenu.

Une fois laprofondeur de l'idée de Kant reconnue, il faut signaler certains problèmes pour lesquels on ne trouve pas de solutionaisée dans le système kantien : (1) comment croire que l'espace et le temps dans lesquels habitent les animaux, leshommes et les étoiles, dépendent de l'humanité ? (2) La vision de Kant sur le temps est structuraliste, commentcroire que le concept de temps ne puisse pas évoluer ? (3) Il existe plusieurs géométries, laquelle décrit l'espace,forme de la sensibilité ? (4) Les exemples donnés par Kant pour illustrer le caractère synthétique des jugementsmathématiques (du type '7 + 5 = 12') sont contestables.

Par exemple, si l'on sait ce que les signes '7', '+', '5' et '='. »