Montrer est-ce démontrer

« plus tard invalidés par d'autres expériences. c) Les jugements synthétiques a priori.

Ces jugements sont aussi féconds que les synthétiques et aussi rigoureuxque les analytiques.

Les mathématiques offrent l'exemple de tels jugements.

Un énoncé aussi simple que 7 + 5 = 12est à la fois synthétique (je ne peux tirer par analyse du 7 et du 5 le nombre 12) et a priori (je n'ai pas besoin d'enpasser par l'expérience pour l'affirmer). D'après la tradition rationaliste antérieure à Kant, les propositions mathématiques ne viennent pas, et ne dépendentpas, de l'expérience car on y considère qu'aucun fait ne peut les corriger.

Kant n'est pas l'initiateur de l'idée que lesmathématiques sont a priori, mais on lui doit d'avoir répandu l'affirmation que les propositions mathématiques sontlogiquement (et non psychologiquement ni chronologiquement) antérieures à l'expérience qui les présuppose.

Pluspersonnelle chez Kant est la raison donnée : à l'origine des mathématiques on trouve les intuitions de l'espace et dutemps, l'intuition de l'espace est à l'origine de la géométrie, celle du temps, à l'origine de l'arithmétique.

Or l'espaceet le temps (c'est bien de l'espace et du temps physiques qu'il s'agit) ne sont pas des êtres naturels indépendantsde l'humanité, mais des formes pures a priori de la sensibilité.

C'est donc le caractère a priori de l'espace et dutemps qui explique le caractère a priori des mathématiques.Conscient du progrès des mathématiques, Kant ne pouvait pas croire que leurs jugements soient des tautologies,des énoncés analytiques, le dédoublement sans fin d'une identité où le prédicat d'une proposition ne fait quedéployer une partie du contenu du sujet.

Les jugements mathématiques sont synthétiques, le prédicat est censéajouter une information concernant le sujet de la proposition, introuvable dans l'analyse de son contenu.

Une fois laprofondeur de l'idée de Kant reconnue, il faut signaler certains problèmes pour lesquels on ne trouve pas de solutionaisée dans le système kantien : (1) comment croire que l'espace et le temps dans lesquels habitent les animaux, leshommes et les étoiles, dépendent de l'humanité ? (2) La vision de Kant sur le temps est structuraliste, commentcroire que le concept de temps ne puisse pas évoluer ? (3) Il existe plusieurs géométries, laquelle décrit l'espace,forme de la sensibilité ? (4) Les exemples donnés par Kant pour illustrer le caractère synthétique des jugementsmathématiques (du type '7 + 5 = 12') sont contestables.

Par exemple, si l'on sait ce que les signes '7', '+', '5' et '='veulent dire, on sait ipso facto que le résultat est 12 et la proposition est donc analytique.

Cela montre, d'une part,le besoin d'une théorie qui puisse indiquer, à un moment donné, ce qui appartient essentiellement au sujet, etd'autre part, le besoin d'un langage artificiel réglementé où les concepts nécessaires à la description de l'analytiqueet du synthétique (par exemple : identité, relation) soient parfaitement définis. — La démonstration implique la nécessité d'une dérivation (on passe d'un concept ou d'un symbole à l'autre enfonction de ce qui est rendu possible par la définition du premier), cf.

Kant: "Le premier qui démontra le triangleisocèle (qu'il s'appelât Thalès ou comme l'on voudra) eut une grande lumière; car il trouva qu'il ne devait pas suivreà la trace ce qu'il voyait dans la figure, ni s'attacher au simple concept de cette figure comme si cela devait lui enapprendre les propriétés, mais qu'il lui fallait réaliser cette figure, au moyen de ce qu'il y pensait et s'y représentaitlui-même a priori par concepts (c'est-à-dire par construction), et que, pour connaître sûrement quelque chose apriori, il ne devait attribuer aux choses que ce qui résultait nécessairement de ce que lui-même y avait mis,conformément à son concept.

[...]Lorsque Galilée fit descendre sur un plan incliné des boules avec une pesanteur choisie par lui-même, ou queTorricelli fit porter à l'air un poids qu'il avait d'avance pensé égal au poids, connu de lui, d'une colonne d'eau, ouque, plus tard, Stahl transforma des métaux en chaux et celle-ci à son tour en métal, en leur retranchant ou en leurrestituant certains éléments, alors ce fut une grande lumière pour tous les physiciens.

Ils comprirent que la raisonn'aperçoit que ce qu'elle produit elle-même d'après son projet, qu'elle doit prendre les devants avec les principes quidéterminent ses jugements suivant des lois constantes, et forcer la nature à répondre à ses questions, au lieu de selaisser conduire par elle comme en laisse ; car autrement, des observations faites au hasard et sans aucun plantracé d'avance ne se rassemblent pas en une loi nécessaire, ce que cherche pourtant la raison et dont elle abesoin.

Cette raison doit se présenter à la nature, tenant d'une main ses principes, d'après lesquels seulement desphénomènes concordants peuvent valoir comme lois, et de l'autre les expériences qu'elle a conçues d'après cesmêmes principes.

Elle lui demande de l'instruire, non pas comme un écolier qui se laisse dire tout ce qui plaît aumaître, mais comme un juge en fonctions, qui force les témoins à répondre aux questions qu'il leur pose." Alors que dans la Logique, selon Kant, « la raison n'a affaire qu'à elle-même », elle doit s'occuper, en géométrie, defigures et d'espace, et, en physique, d'objets matériels et de principes empiriques.

Comment peut-elle s'appliquer àl'expérience sans dériver ses concepts de l'expérience ? Kant n'entend pas ici faire oeuvre d'historien des sciences.

L'exactitude des dates et des noms ne lui importe guère.« L'histoire de cette révolution de la façon de penser, écrit-il un peu auparavant, [...] et de l'homme qui eut lebonheur de l'accomplir, n'est point parvenue jusqu'à nous ».

Il propose une épure de la démarche scientifique, selonlaquelle les opérations de la raison priment sur les propriétés de l'objet à connaître.Le premier alinéa du texte évoque la boutade selon laquelle « la géométrie est l'art de raisonner juste sur des figuresfausses ».

En effet, la démonstration d'une propriété géométrique (par exemple : la somme des angles intérieurs d'untriangle quelconque est égale à deux angles droits) n'est pas une vérification sur pièces, (car alors chaque nouveautriangle tracé devrait être soumis à une mesure de ses angles, tâche approximative et sans fin).

Démontrer, engéométrie, ce n'est pas traduire par des propositions générales des observations faites sur des figures particulières.. »