Peut-on tout démontrer ?

« «Ces longues chaînes de raison, si simples et faciles, dont les géomètres ontcoutume de se servir pour parvenir à leurs plus difficiles démonstrations,m'avaient donné occasion de m'imaginer que toutes les choses qui peuventtomber sous la connaissance des hommes s'entresuivent en même façon.»Descartes, Discours de la méthode (1637). • Descartes a eu, dès sa jeunesse, l'idée d'une mathesis universalis, ouscience universelle, qui étendrait le caractère démonstratif desmathématiques à l'ensemble des objets de connaissance possible (le mondephysique en particulier:• Ce discours démonstratif est défini par la cohérence de ses raisonnements,et par l'évidence des principes sur lesquels il repose (voir fiche Descartes").Ainsi, si l'on part d'une vérité absolument claire et distincte, et que l'on endéduit de manière rationnelle les conséquences, on arrive forcément àd'autres vérités, et ainsi de suite.• Rien ne devait pour Descartes, échapper à ce modèle, c'est pourquoi, ilpropose aussi un traité Les Passions de l'âme, dans lequel il traite de l'âmehumaine en «physicien» et géomètre (deux termes presque synonymes pourlui). ll y a des limites au modèle géométrique.

Pourtant l'homme se confronte à une double impossibilité.

1) Tout ne peut pasêtre défini.

Pour définir un mot, il nous faut utiliser d'autres mots qui, en touterigueur, devraient à leur tour être définis, et cela à l'infini.

2) Tout ne peutpas être démontré : pour démontrer une idée, on utilise d'autres idées qui àleur tour, devraient être démontrées, etc.

Cette double difficulté tient avanttout aux limites de la nature humaine, à l'impuissance naturelle de l'homme.Les exigences de la démonstration traduisent un décalage entre ce quel'homme veut (tout démontrer) et ce que l'homme peut.

Ce débordement deson vouloir au-delà des limites strictes de son pouvoir est ce qui pour Pascalcaractérise le mieux la condition humaine.

La raison est naturellement portée àtransgresser ses limites. «D'où il paraît que les hommes sont dans une impuissance naturelle etimmuable de traiter quelque science que ce soit dans un ordre absolumentaccompli.

Mais il ne s'ensuit pas de là qu'on doive abandonner toute sorted'ordre.

Car il y en a un et c'est celui de la géométrie...» Pascal, De l'espritgéométrique (1658). • Pascal fait remarquer que le modèle démonstratif de la géométrie nousamène dans un cercle vicieux: car il suppose que les termes que l'on utilise soient toujours définis de manière claireet distincte.

Or, pour définir un terme, il faut d'autres termes: on entre ainsi dans une régression à l'infini dont on nepeut sortir.

Il est donc vain de croire pouvoir tout démontrer.

Seule la géométrie échappe relativement à ceproblème.

Non pas parce qu'elle parvient à tout démontrer, mais parce qu'elle «ne suppose que des choses claires etconstantes par la lumière naturelle».

Mais elle est la seule dans son genre. L'essentiel, dans une démonstration, n'est pas l'évidence de son fondement mais sa cohérence formelle. «Démontrer n'est pas autre chose que résoudre les termes d'une proposition et substituer au terme défini sadéfinition ou une de ses parties pour dégager une sorte d'équation.» Leibniz, De la liberté (1707). • En définissant la démonstration comme une suite de substitutions, Leibniz met de côté la question du fondementde la démonstration.

Une démonstration n'est pas, pour lui, un discours bien fondé, c'est d'abord une suite depropositions non-contradictoires.

Le fait que les définitions puissent être approfondies à l'infini n'est donc plus unproblème pour le caractère démonstratif du discours.• À partir de là, «démontrer» une proposition ne signifie plus «prouver la vérité» de cette proposition, mais montrerqu'elle est cohérente par rapport aux hypothèses sur lesquels elle repose.

L'idée d'une démonstration qui produiraitune «vérité absolue» fait place à la construction d'un modèle «hypothético-déductif».

Celui-ci est un mode deraisonnement dans lequel on examine quelles sont les conséquences des hypothèses que l'on se donne.

Par-delà lesmathématiques, il peut s'appliquer à toutes sortes d'objets. LA DEMONSTRATION, UN IDEAL TOUJOURS REGULATEUR Si la science moderne a renoncé à étendre la démonstration comme type de connaissance à tous les objetspossibles, il n'en demeure pas moins que le modèle logico-mathématique de la connaissance imprègne encore lesesprits.

Einstein ne désespérait pas de trouver une formule qui exprime à elle seule la totalité du monde desphénomènes.

Mais cet idéal reste régulateur au sens kantien, il guide la connaissance comme un horizon. »