Pourquoi tant d'esprits sont-ils réfractaires aux mathématiques ?

« II.

— LES DIFFICULTÉS OBJECTIVES. Parmi les difficultés qui tiennent à la nature des mathématiques, on peut citer celles qui concernent l'axiomatique, leformalisme, l'obscurité provisoire et le conflit entre l'intuition et la logique rigoureuse. A.

L'axiomatique. — L'axiomatique comprend l'ensemble des fondements d'une théorie : concepts, définitions, postulats et axiomes qui forment l'infrastructure de l'édifice à construire.La première épreuve consiste à concevoir correctement ces axiomes.

La difficulté provient surtout de l'abstractiondes notions premières.

L'enfant ne parvient qu'assez tard (vers trois ans) à la notion de nombre entier.

L'effortd'abstraction consiste à ne retenir des images sensibles que certains aspects (v.

g.

la longueur) parmi un monceaude qualités ou à accepter certaines conditions idéales qui, de fait, ne se rencontrent jamais dans la pratique.

Lesaxiomes proviennent d'une certaine expérience élaborée.

Aussi certains, négligeant ce travail préliminaire, neparviennent pas à voir sous les mots autre chose que le sens usuel et non l'acception précise, limitative etconventionnelle, du vocabulaire mathématique.Il faut acquérir le sens de l'abstraction, qui prépare également à la.

métaphysique (PLATON), comme celui duconventionnel et de l'hypothétique. B.

Le formalisme. — Le sens de la convention et d'un certain arbitraire est indispensable.

Il faut entrer de bon gré dans le jeu des axiomes, hypothèses et conditions diverses; mais une attitude trop docile devant l'arbitraire desaxiomes, qui ne cherche pas à les rattacher à des intuitions qui en sont la source et à voir dans quelle mesure ils lestraduisent, est un autre obstacle qui peut nuire au sens de l'unité des théories et des mathématiques. C.

L'obscurité provisoire. — Au début d'une théorie, il faut accepter de ne pas voir entièrement clair.

Le préjugé si courant de clarté parfaite qui auréole cette science, peut être cause de scrupules.

En fait, il faut souvent cheminerdans une demi-obscurité avant de parvenir à la lumière du jour.

Les scrupules sont parfois légitimes, parce qu'ilmanque à telle époque une explication adéquate.

Les nombres complexes ont mis quatre siècles à trouver leurprésentation satisfaisante.

De nombreux mathématiciens ont refusé des innovations : les nombres négatifs,imaginaires, le calcul infinitésimal.

GALOIS, le fondateur de la théorie des groupes, fut le plus incompris desmathématiciens de son temps.La conquête des mathématiques est affaire de confiance, la lumière jaillira chemin faisant : « Allez de l'avant, disaitD'ALEMBERT, et la foi vous viendra » (analogie avec la foi religieuse) (PASCAL).

Les critères du mathématiciend'avant-garde sont la fécondité et l'unification des théories.

Une erreur ne peut produire des fruits abondants oudes synthèses durables. D.

Intuition et rigueur. — Le conflit de l'intuition et de la logique a des aspects subjectifs et objectifs qu'il est délicat de dissocier.

La progression lente d'un raisonnement rigoureux suppose une attention aux multiplescirconstances principales et secondaires qui fatigue l'esprit et l'absorbe dans les détails.

Le raisonnement rigoureuxne peut être qu'un contrôle (HADAMARD), il peut faire obstacle à ceux qui devinent ou voient directement lesconnexions du raisonnement.

Ce mélange de rigueur, qui s'assure pas à pas de la solidité du sol, et d'intuition, quiembrasse d'un regard la course de la pensée, est une cause d'impatience et de lassitude chez l'esprit intuitif quidédaigne la rigueur, ou de stérilité pour l'esprit rigoureux embarrassé dans ses minuties.La rigueur n'est d'ailleurs point absolue, sans réserves.

Des questions jugées résolues à une époque ont été repriseset traitées avec plus de profondeur.

La rigueur est un idéal; beaucoup de questions ne sont pas résolues, mais plusou moins résolues.

Le raisonnement mathématique comporte un aspect historique. CONCLUSION. — Les causes multiples qui rendent les esprits réfractaires à cette discipline suggèrent le remède approprié à chaque cas.

Si le mal est très répandu, à divers degrés, il est bien rare que chacun soit complètementfermé à toutes les branches de cette science.

La condition première d'une thérapeutique est de bien connaître soncas.

Les remèdes seront d'ordre moral et pédagogique principalement.

Une introduction adaptée à la tournured'esprit de chacun pourrait ouvrir à beaucoup les portes de ce jardin fermé.

Il demeure néanmoins pour certains,étant données leurs dispositions, des obstacles pratiquement insurmontables.. »