RETOUR DE POINCARE

Source: http://www.peiresc.org/DINER/Lexique.pdf

 

Poincaré a démontré un théorème général selon lequel toute trajectoire de phase d'un système dynamique conservatif revient tôt ou tard dans un voisinage aussi petit que l'on veut d'un état initial. Alors que l'on pensait qu'en général, si le système n'est pas périodique ou faiblement quasi périodique, ce retour nécessite un temps très long, on a trouvé un exemple où ce temps de retour est relativement court. C'est ce qui est présenté dans un article de vulgarisation de la revue « Pour la Science » en 1987. Partant d'une reproduction d'une photographie de H. Poincaré, on lui applique une certaine transformation et on itère le procédé. Dès la troisième itération, il ne reste plus grand chose du visage du grand homme mais, de manière miraculeuse, après itérations, Henri Poincaré est de retour, tout au moins sous forme reconnaissable. Cet exemple, même s'il est frappant, n'illustre en aucun cas le théorème de Poincaré. Ce phénomène est en fait le résultat d'une série de petits "miracles" de nature arithmétique. Le théorème de Poincaré semble en contradiction avec l'irréversibilité ce qui a déclenché de nombreuses polémiques scientifiques. Ces retours sont manifestement contradictoires avec l'égalisation des températures, des pressions et des compositions dans un système thermodynamique. Face à cette contradiction il y a plusieurs réponses classiques mais insatisfaisantes, si le temps de retour de Poincaré n'est pas forcément si long que cela. On ne peut donc argumenter en disant que la notion de trajectoire reste précise pour des temps bien inférieurs au temps de retour. En principe Poincaré a raison et pour un système strictement isolé il existe en effet cette corrélation mystérieuse entre les conditions initiales et finales (après le temps de retour de Poincaré). Mais nos systèmes ne sont pas isolés et des perturbations très petites, comme l'attraction des planètes, suffisent à détruire ces corrélations. La réponse véritable est liée aux mouvements chaotiques. C'est parce qu'un système est « sensible aux conditions initiales » et dépend de milliards de paramètres, tandis que nous n'en mesurons que quelques uns (essentiellement ceux de nature statistique) que nous constatons une apparence d'irréversibilité et que le temps de retour de Poincaré est très grand, bien plus grand que l'âge de l'Univers. Nous atteignons ainsi l'irréversibilité physique de nos expériences en dépit de lois conservatives et réversibles.