Second degres

FONCTIONS POLYNOMES ET SECOND DEGRE I. Fonctions polynômes 1. Définition 1. On appelle fonction polynôme ou polynôme de degré n, [pic], toute fonction définie sur [pic], dont l'écriture peut se mettre sous la forme : x ) a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a1 x + a0 où a0 , a1 , ... , an sont n + 1 réels et an ? 0. 2. Le terme ap xp s'appelle monôme de degré p. On note n = deg(P), le degré du polynôme. 3. Deux polynômes non nuls sont égaux si, et seulement si, ils ont le même degré et si les coefficients de leurs termes de même degré sont égaux. Exemples : - La fonction x ) 0 est la fonction polynôme nulle . - Les polynômes de degré 0 : x ) k sont les fonctions constantes, - Les polynômes de degré 1 : x ) a x + b , a ? 0, sont les fonction affines. - Pour tout réel x, [pic] équivaut à : [pic]. Remarques : - La fonction f définie par [pic] peut s'écrire après simplification : [pic] ; c'est donc une fonction polynôme de degré 2 - La fonction g définie par [pic] peut s'écrire après simplification : [pic] ; ce n'est pourtant pas une fonction polynôme car elle n'est pas définie sur [pic]. 2. Racine d'un polynôme et factorisation d'un polynôme a. Définition On appelle racine d'une fonction polynôme P tout nombre a vérifiant : P(a) = 0. Exemples : Les racines de la fonction polynôme P définie sur [pic] par : P(x) = (x - 1)(x+2) sont 1 et -2. Remarque : Certaines fonctions polynômes n'ont aucune racine réelle. Par exemple [pic] qui est strictement positif. b. Théorème admis Si une fonction polynôme P à coefficients réels de degré n (n ? 1) a une racine réelle x = a, alors on peut factoriser P(x) par (x - a) , on a : P(x) = (x - a) Q(x) où Q est une fonction polynôme de degré n - 1. Exemples : [pic], [pic]. c. Méthode de la division Si a est une racine du polynôme P, on effectue la division euclidienne de P(x) par (x - a) pour obtenir Q(x). Exercice 1 : Soit [pic]. Montrer que 2 est une racine de P. Factoriser le polynôme P&l...