Sur quoi se fondent les mathématiques ?
Publié le 30/01/2004
Extrait du document
Est-il discutable
pour autant ?
De la géométrie d'Euclide
aux géométries non
euclidiennes.
La géométrie d'Euclide est
bien abstraite, mais les
objets (la droite, par
exemple) qu'elle considère
sont abstraits du réel perçu
par nos sens. Les postulats,
les axiomes de cette
géométrie sont considérés
comme évidents. Les Anciens
essayèrent, en vain, de
déduire le cinquième
postulat de la géométrie
d'Euclide (par un point
extérieur à une droite
donnée, on peut mener une
seule parallèle à cette
droite) des autres
postulats. Au début du XIXe
siècle, Lobatchevski et
Bolyai fondèrent une
nouvelle géométrie en
partant du postulat que par
un point extérieur à une
droite donnée on peut mener
plusieurs parallèles à cette
droite. En 1854, Riemann
créa une autre géométrie
postulant qu'il n'existe pas
de droites parallèles. Si
ces géométries sont sans
rapport avec notre
représentation familière de
l'espace, elles n'en sont
pas moins légitimes à partir
du moment où elles
n'impliquent aucune
contradiction logique.
AXIOMATIQUE
:
Système dans lequel
sont explicitées les
propositions non
démontrées et les
termes non définis à
partir desquels on
construit par voie
de déduction toutes
les autres
propositions d'une
science logique ou
mathématique. Le
système des axiomes
définissant une
théorie mathématique
doit être complet
(nécessaire et
suffisant) et
consistant (non
contradictoire).
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