SYMPLECTIQUE (STRUCTURE. GEOMETRIE)

La géométrie symplectique, sous son ancien nom « théorie des transformations canoniques », a été profondément renouvelée récemment et sert de langage commun à de nombreuses théories de la physique. Un espace vectoriel est dit symplectique si l'on a défini sur lui une forme linéaire antisymétrique, c.a.d. si à deux vecteurs on sait faire correspondre un nombre par une formule telle que le changement de l'ordre des vecteurs donne le nombre opposé. Par exemple dans un espace vectoriel de dimension 2, pour deux vecteurs u1 et u2, de composantes (q1,p1) et (q2,p2), la forme est définie par [ u1,u2 ] = q1p2 -- q2p1. Une variété symplectique est une variété qui a localement la structure d'un espace vectoriel symplectique. Un difféomorphisme symplectique, transformation canonique, est une transformation continue localement symplectique. La géométrie symplectique est l'étude des variétés et des difféomorphismes symplectiques. La relation avec la physique provient de ce que l'espace de phase d'un système mécanique est une variété symplectique et que l'évolution temporelle d'un système mécanique conservatif est une famille à un paramètre de difféomorphismes symplectiques. Cette structure de la mécanique classique est apparue dans la mécanique hamiltonienne. En fait chez Hamilton c'est d'abord l'optique géométrique qui a été réduite à une géométrie symplectique. Ce n'est que quelques 314 années plus tard qu'il se rendit compte que ces méthodes s'appliquaient aussi à la mécanique. L'analogie entre l'optique et la mécanique a servi cent ans plus tard dans l'élaboration de la mécanique quantique. La raison pour laquelle la géométrie naturelle de la mécanique classique n'est pas la géométrie euclidienne est que les droites ne sont pas conservées lors de l'évolution d'un système mécanique.