Exo

« 2.

On appellegla fonction d´efinie sur IR \ {0} par g(x ) = x 3 + 3 x+ 2 x2 . a.

On a g= u v, avec u(x ) = x3 + 3 x+ 2, u′ ( x ) = 3 x2 + 3, et v(x ) = x2 , v′ ( x ) = 2 x, d’o`u, g ′ ( x ) = (3 x2 + 3) x2 − (x 3 + 3 x+ 2)(2 x) x4 =x 4 − 3x 2 − 4x x 4 =x 3 − 3x − 4 x3 =f (x ) x 3 b.

On d´eduit de la question 1.c) le tableau de variation : x −∞ 0a +∞ f(x ) − | − 0| + x3 − 0| + |+ g′ ( x ) + || − 0| + g(x ) g(a ) Exercice 4 On appelle fla fonction d´efinie sur IR par f(x ) = ax +b x2 + 3 , a et bd´esignant deux constantes r´eelles, et Cla courbe de f. 1.

On a f= u v, avec u(x ) = ax+b, u′ ( x ) = aet v(x ) = x2 + 3, v′ ( x ) = 2 x, et donc, f ′ ( x ) = a (x 2 + 3) −(ax +b)(2 x) (x 2 + 3) 2 =− ax 2 − 2bx + 3 a (x 2 + 3) 2 2.

On veut que Cpasse par A(1; 0), c’est-`a-dire que f(1) = 0 ⇐⇒a + b 4 = 0 ⇐⇒ a+ b= 0. De plus, le coefficient directeur de la tangente en Aest 3 2, c’est-`a-dire f ′ (1) = 3 2 ⇐⇒ − a− 2b + 3 a 16 =3 2 ⇐⇒ 2a − 2b = 24 ⇐⇒a− b= 12 En r´esum´e, on doit avoir  a+ b= 0 a − b= 12 . En ajoutant et soustrayant ces deux ´equations, on trouve a= 6 et b= −6, soit f(x ) = 6 x − 6 x2 + 3 . 3.

D’apr`es 1., on a f′ ( x ) = − 6x 2 + 12 x+ 18 (x 2 + 3) 2 = 6− x2 + 2 x+ 3 (x 2 + 3) 2. Le trinˆome du second degr´e au num´erateur a pour racines x= −1 et x= 3, et on a alors : x −∞ − 1 3 + ∞ −x2 + 3 x+ 3 − 0| + 0 | − (x 2 + 3) 2 + |+ |+ f′ ( x ) − 0| + 0 | − 1 f(x ) -3 4.

En A, on a f′ (1) = 3 2, et f(1) = 0, d’o`u l’´equation de la tangente T`a la courbe de fen A:y = f ′ (1)( x− 1) + f(1) = 3 2( x − 1) 5. Y.

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