analytique, géométrie - mathématiques.

analytique, géométrie - mathématiques. 1 PRÉSENTATION analytique, géométrie, branche de la géométrie dans laquelle on représente les courbes et les figures géométriques par des relations entre les coordonnées de leurs points. 2 COORDONNÉES CARTÉSIENNES La position d'un point du plan peut être déterminée (on dit aussi repérée) par rapport à deux droites perpendiculaires orientées, appelées axes, au moyen des distances algébriques de ce point à chacun de ces axes. Sur la figure 1, le point A est situé à 1 unité de l'axe vertical, ou axe des y, et à 4 unités de l'axe horizontal, ou axe des x. Les coordonnées du point A sont donc 1 et 4, ce que l'on note comme suit : A (1 ; 4). Cela signifie que, dans le repère (xOy), O étant le point d'intersection des deux axes, ou origine du repère, le point A a 1 comme abscisse (x) et 4 comme ordonnée (y). Les valeurs positives de x correspondent aux points situés à droite de l'axe des y, et les valeurs négatives correspondent aux points placés à gauche. De même, les valeurs positives de y correspondent aux points situés au-dessus de l'axe des x et les valeurs négatives de y correspondent aux points placés en dessous. Ainsi, le point B de la figure 1 a pour coordonnées : x = 5, y = 0. De la même façon, on peut déterminer la position de points dans l'espace par rapport à trois droites concourantes perpendiculaires et orientées (les axes), les deux premiers axes étant ceux du plan et le troisième axe, vertical, étant généralement appelé axe des z. 3 ÉQUATIONS CARTÉSIENNES L'équation cartésienne d'une droite est de la forme ax + by + c = 0, a, b et c étant des réels. On peut également déterminer les équations des cercles, ellipses et autres coniques, ainsi que celles de certaines autres courbes. Les problèmes classiques étudiés en géométrie analytique sont de deux sortes. Étant donné une description géométrique d'un ensemble de points, on peut chercher à déterminer l'équation satisfaite par ces points. Dans les exemples ci-dessus, l'ensemble des points de la droite passant par les points A et B, ou droite (AB), vérifient l'équation linéaire x + y = 5. Il s'agit d'une droite oblique, c'est-à-dire coupant les deux axes. Son équation peut donc se mettre sous la forme : ax + by = c. Le second type de problème consiste à décrire le lieu géométrique des points qui satisfont une relation donnée. Par exemple, l'ensemble des points qui satisfont l'équation x2 + y2 = 9 est un cercle de rayon 3, dont le centre est l'origine du repère. À partir d'équations de ce type, il est possible de résoudre algébriquement des problèmes de géométrie, tels que la construction du milieu d'un segment ou de la bissectrice d'un angle, la construction de la perpendiculaire à une droite donnée passant par un point donné, ou encore le tracé d'un cercle passant par trois points donnés non alignés. La géométrie analytique a joué un rôle important dans le développement des mathématiques, car elle a permis d'unifier les concepts de l'analyse (relations numériques) et de la géométrie (relations spatiales). L'étude des géométries non-euclidiennes et des géométries dans les espaces à plus de trois dimensions n'aurait pas été concevable sans une approche analytique. De même, les techniques de la géométrie analytique, en rendant possible la représentation graphique de nombres et d'expressions algébriques, ont apporté une meilleure compréhension du calcul infinitésimal, de la théorie des fonctions et d'autres problèmes mathématiques plus complexes. Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Tous droits réservés.