applications - mathématiques.

applications - mathématiques. 1 PRÉSENTATION applications (mathématiques), opération mathématique, qui met en correspondance deux ensembles d'éléments, telle qu'à tout élément de l'ensemble de départ soit associé un et un seul élément de l'ensemble d'arrivée. 2 DÉFINITIONS Considérons une application d'un ensemble de départ E dans un ensemble d'arrivée F. À un élément x de l'ensemble E est associé par cette application un élément y de l'ensemble F. L'élément y est appelé image de l'élément x, tandis que l'élément x est nommé antécédent de l'élément y. Une application est injective ou est une injection si tout élément de l'ensemble d'arrivée F a au plus un antécédent dans l'ensemble de départ E. En d'autres termes, une application n'est pas injective s'il existe au moins deux éléments distincts de E qui aient la même image dans F par cette application. Une application est surjective ou est une surjection si tout élément de l'ensemble d'arrivée F a au moins un antécédent dans l'ensemble de départ E. Une application est dite bijective ou est une bijection si elle est à la fois injective et surjective. La notion d'application est souvent confondue avec celle de fonction. Cependant, à la différence d'une application, tous les éléments de l'ensemble de départ d'une fonction n'ont pas forcément d'image dans l'ensemble d'arrivée. Par exemple, la correspondance qui associe à un nombre son carré est une application ; en revanche, celle qui associe à un nombre son inverse n'est pas une application car 0 n'a pas d'image. 3 EXEMPLES On rencontre la notion d'application dans tous les domaines des mathématiques. L'élément de l'ensemble de départ est souvent appelé variable. La désignation de la variable dépend de l'ensemble de départ. En analyse, la variable est souvent notée x. Une application f d'un ensemble A dans un ensemble B se note : En algèbre linéaire, une application linéaire est une application f d'un espace vectoriel A dans un espace vectoriel B qui vérifie les égalités suivantes : pour tous vecteurs x et y et pour tout nombre a, f(x + y) = f(x) + f(y) et f(ax) = af(x). En géométrie, les translations sont des exemples d'application (voir transformations). L'application identique est une application où tout élément a pour image lui-même. Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Tous droits réservés.