Axiomes et postulats ?

Axiomes et postulats Il suffit d'ouvrir un traité de géométrie élémentaire pour constater qu'avant d'énoncer le premier théorème, plusieurs principes sont posés qui ne sont pas tous des définitions. Si de l'ensemble des principes nous retirons les définitions, faut-il grouper le reste en une seule ou en deux espèces ? Une longue tradition a répondu : il y a deux espèces, les axiomes et les postulats. Que vaut cette réponse ? a) L'histoire des mathématiques met en relief la difficulté toujours rencontrée par les mathématiciens pour établir entre axiome et postulat une distinction précise. Il n'est pas exagéré de dire que chaque époque de l'histoire a admis une distinction différente, et même que, pour une époque donnée, les mathématiciens ne sont pas d'accord entre eux. Sans prétendre suivre les détails de cette évolution historique, notons quelques faits saillants : 1. Dans l'antiquité grecque, les axiomes étaient souvent distingués des postulats par les deux caractères suivants : a) On appelait axiomes les propositions suffisamment évidentes pour que le mathématicien se sente en droit de les affirmer sans apporter de preuve, et de les utiliser dans la démonstration d'un théorème ; et postulats les propositions qu'il rencontrait au cours d'une démonstration, et qu'il demandait d'admettre sans preuve afin de pouvoir achever sa démonstration. Le postulat était à la fois non évident et, au moins provisoirement, indémontrable. Remarquons que le terme de demande fut parfois employé à une époque beaucoup plus récente a la place de celui de postulat ; b) Les axiomes se distinguaient encore des postulats en ce que les premiers étaient communs à toutes les sciences, les seconds différents avec chacune d'elles.