EXERCICE TYPE: LE PENDULE ELASTIQUE VERTICAL

« Projetons cette relation sur l'axe x x' dont l'origine 0 coïncide avec la position de G à l'équilibre • : -kx = m x ou mx + kx = 0 car T, = - kx et a, = x, à l'instant t où l'abscisse de G est x .

L'équation différentielle ci-dessus est caractéristique de l'oscillateur harmonique : le pendule est donc animé d'oscillations sinusoïdales d 'équation : x= Xm sin (w0t +cp ) où X m = 2X 10 - 2m et w0 = ~ = ~ = 15,7 rad .s -• Il reste à déterminer cp.

Prenons , par exemple , l'origine des dates (t = 0) lors d 'un passage du centre d'inertie du solide à l'origine des abscisses dans le sens ascendant négatif (x'x est orienté vers le bas) : à t = 0, x = 0 d 'où : Xm sin cp = 0 = sin 0, équation trigonométrique qui admet les solutions : cp = 0 (mod.

21r) ou cp = 1r (mod .

21r) .

Pour choisir entre les deux valeurs possibles de cp on doit calculer la vitesse du mobile qui est donnée par la dérivée x : v = x = w0Xm cos (w0t + cp).

A l'instant t = 0 , la vitesse vo doit être négative {le solide se déplace dans le sens négatif de l'axe) .

Donc : vo = woX m cos cp< O.

Seul cp = 1r radians convient.

D' où finalement: x= 2.10- 2 sin (15,7 t + 1r) Remarque : le pendule élastique incliné (solide glissant sur la ligne de plus grande pente d'un plan incliné) se traite de façon analogue.

L'équation différen ­ tielle caractéristique est la même que celle du pendule élastique horizontal ou vertical.. »